関数 $y = \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの導関数を計算し、規則性を見つけます。

$y = \log(1+x)$

$y' = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$y'' = -1(1+x)^{-2} = -(1+x)^{-2}$

$y''' = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$y^{(4)} = (2)(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

これらの結果から、一般的に以下のように推測できます。

$y^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

3. 最終的な答え

よって、関数 $y = \log(1+x)$ の第 $n$ 次導関数は $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ です。