関数 $f(x) = x[x]$ の $x=0$ と $x=1$ における連続性を調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x[x]$ の $x=0$ と $x=1$ における連続性を調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

2. 解き方の手順

関数の連続性を調べるには、以下の3つの条件を確認する必要があります。

(1) $f(a)$ が定義されていること。

(2) 極限値 $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在すること。

(3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つこと。

まず、$x=0$ での連続性を調べます。

$f(0) = 0 \cdot [0] = 0 \cdot 0 = 0$ より、$f(0)$ は定義されています。

次に、$\lim_{x \to 0} x[x]$ を調べます。

$x \to 0^+$ のとき、$0 \le x < 1$ なので、$[x] = 0$ となり、$\lim_{x \to 0^+} x[x] = \lim_{x \to 0^+} x \cdot 0 = 0$ です。

$x \to 0^-$ のとき、$-1 \le x < 0$ なので、$[x] = -1$ となり、$\lim_{x \to 0^-} x[x] = \lim_{x \to 0^-} x \cdot (-1) = \lim_{x \to 0^-} -x = 0$ です。

よって、$\lim_{x \to 0} x[x] = 0$ が存在します。

最後に、$\lim_{x \to 0} x[x] = f(0)$ を確認します。

$\lim_{x \to 0} x[x] = 0$ であり、$f(0) = 0$ なので、$\lim_{x \to 0} x[x] = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。

次に、$x=1$ での連続性を調べます。

$f(1) = 1 \cdot [1] = 1 \cdot 1 = 1$ より、$f(1)$ は定義されています。

次に、$\lim_{x \to 1} x[x]$ を調べます。

$x \to 1^+$ のとき、$1 \le x < 2$ なので、$[x] = 1$ となり、$\lim_{x \to 1^+} x[x] = \lim_{x \to 1^+} x \cdot 1 = 1$ です。

$x \to 1^-$ のとき、$0 \le x < 1$ なので、$[x] = 0$ となり、$\lim_{x \to 1^-} x[x] = \lim_{x \to 1^-} x \cdot 0 = 0$ です。

よって、$\lim_{x \to 1^+} x[x] \ne \lim_{x \to 1^-} x[x]$ なので、$\lim_{x \to 1} x[x]$ は存在しません。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x=0$ で連続であり、$x=1$ で不連続です。