次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限は自然対数の底 $e$ の定義を用いることで解くことができます。$e$ の定義は以下の通りです。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

この極限を求めるには、与えられた式を $e$ の定義の形に近づけます。

まず、$y = \frac{x}{a}$ と置きます。すると、$x = ay$ となり、$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{ay}$

となります。

指数法則より、$(1 + \frac{1}{y})^{ay} = ((1 + \frac{1}{y})^y)^a$ となります。

したがって、

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{ay} = \lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^a$

極限の中身を $e$ の定義と関連付けると、

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y = e$

となります。したがって、

$\lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^a = e^a$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$