xy平面上の曲線 $C: y = e^x$ について、以下の問いに答える。 (1) 点 $(a, e^a)$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。 (2) 点 $(a, e^a)$ における $C$ の法線の方程式を求めよ。 (3) $a \neq 1$ とする。$f(a) = \frac{e^{a-1} + e^{a+1} - e^{2a} - a}{e^{a-1} - 1}$ を帯分数式化する。 $f(a) = \frac{(e^{a-1} - 1) - e^{a+1}(e^{a-1} - 1) - (a-1)}{e^{a-1} - 1}$から帯分数式化された $f(a)$ を求めよ。 (4) (3)で求めた $f(a)$ に対して、$\lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1} = 1$ を利用して、$\lim_{a \to 1} f(a)$ を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上の曲線 $C: y = e^x$ について、以下の問いに答える。

(1) 点 $(a, e^a)$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。

(2) 点 $(a, e^a)$ における $C$ の法線の方程式を求めよ。

(3) $a \neq 1$ とする。$f(a) = \frac{e^{a-1} + e^{a+1} - e^{2a} - a}{e^{a-1} - 1}$ を帯分数式化する。

$f(a) = \frac{(e^{a-1} - 1) - e^{a+1}(e^{a-1} - 1) - (a-1)}{e^{a-1} - 1}$から帯分数式化された $f(a)$ を求めよ。

(4) (3)で求めた $f(a)$ に対して、$\lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1} = 1$ を利用して、$\lim_{a \to 1} f(a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = e^x$ より $y' = e^x$。点 $(a, e^a)$ における接線の傾きは $e^a$ である。

よって、接線の方程式は

$y - e^a = e^a (x - a)$

$y = e^a x - a e^a + e^a$

$y = e^a x + (1 - a) e^a$

(2)

点 $(a, e^a)$ における法線の傾きは $-\frac{1}{e^a}$ である。

よって、法線の方程式は

$y - e^a = -\frac{1}{e^a} (x - a)$

$e^a y - e^{2a} = -x + a$

$x + e^a y = e^{2a} + a$

$y = -e^{-a}x + e^a + ae^{-a}$

(3)

$f(a) = \frac{e^{a-1} + e^{a+1} - e^{2a} - a}{e^{a-1} - 1} = \frac{e^{a-1} - 1 + e^{a+1} - e^{2a} - a + 1}{e^{a-1} - 1}$

$= 1 + \frac{e^{a+1} - e^{2a} - a + 1}{e^{a-1} - 1}$

$f(a) = \frac{e^{a-1} + e^{a+1} - e^{2a} - a}{e^{a-1} - 1} = \frac{e^{a-1} + e^{a+1} - e^{2a} - a}{e^{a-1} - 1}$

与えられた式より、$f(a) = \frac{(e^{a-1}-1) - e^{a+1}(e^{a-1}-1) - (a-1)}{e^{a-1}-1}$

$= 1 + e^{a+1} - \frac{a-1}{e^{a-1}-1} = 1 - e^{a+1} - \frac{a-1}{e^{a-1}-1}$

(4)

$\lim_{a \to 1} f(a) = \lim_{a \to 1} \left( 1 - e^{a+1} - \frac{a-1}{e^{a-1} - 1} \right)$

$t = a - 1$ とすると、$a \to 1$ のとき $t \to 0$。

$\lim_{a \to 1} f(a) = \lim_{t \to 0} \left( 1 - e^{t+2} - \frac{t}{e^t - 1} \right)$

$\lim_{t \to 0} f(a) = 1 - e^2 - \lim_{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} = 1 - e^2 - 1 = -e^2$

3. 最終的な答え

(1) $y = e^a x + (1 - a) e^a$

(2) $y = -e^{-a}x + e^a + ae^{-a}$

(3) $f(a) = 1 - e^{a+1} - \frac{a-1}{e^{a-1} - 1}$

(4) $\lim_{a \to 1} f(a) = -e^2$