与えられた6つの関数をそれぞれ$x$について微分する。

はい、承知いたしました。問題文に書かれている6つの関数をそれぞれ微分します。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ$x$について微分する。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を行う。

* (1) $y = \frac{1}{x+1}$

これは $y = (x+1)^{-1}$ と書き換えることができます。合成関数の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = -1(x+1)^{-2} \cdot 1$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

* (2) $y = \frac{2x}{x+3}$

商の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2)(x+3) - (2x)(1)}{(x+3)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 6 - 2x}{(x+3)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6}{(x+3)^2}$

* (3) $y = \frac{1}{x^3-5}$

これは $y = (x^3-5)^{-1}$ と書き換えることができます。合成関数の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = -1(x^3-5)^{-2} \cdot (3x^2)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{(x^3-5)^2}$

* (4) $y = \frac{x-1}{x^2+1}$

商の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x^2+1) - (x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

* (5) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$

商の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x^2-x+1) - (x)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - x + 1 - 2x^2 + x}{(x^2-x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2-x+1)^2}$

* (6) $y = \frac{x^3 - 4x + 1}{x-2}$

商の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x^2-4)(x-2) - (x^3-4x+1)(1)}{(x-2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^3 - 6x^2 - 4x + 8 - x^3 + 4x - 1}{(x-2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 7}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{(x+3)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{(x^3-5)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2-x+1)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 7}{(x-2)^2}$