放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ が与えられている。 (1) 点 $(2, 0)$ から $C$ に引いた2本の接線の方程式を求める。 (2) $C$ および(1)で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ が与えられている。

(1) 点 $(2, 0)$ から $C$ に引いた2本の接線の方程式を求める。

(2) $C$ および(1)で求めた2本の接線によって囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ 上の点 $(t, t^2 - 2t + 4)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x - 2$ より、

$y - (t^2 - 2t + 4) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 4$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 4$

この接線が点 $(2, 0)$ を通るので、

$0 = (2t - 2)(2) - t^2 + 4$

$0 = 4t - 4 - t^2 + 4$

$0 = 4t - t^2$

$t(t - 4) = 0$

$t = 0, 4$

$t = 0$ のとき、接線の方程式は $y = -2x + 4$

$t = 4$ のとき、接線の方程式は $y = 6x - 12$

(2) 面積を求める。

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ と接線 $y = -2x + 4$ の交点は、

$x^2 - 2x + 4 = -2x + 4$

$x^2 = 0$

$x = 0$

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 4$ と接線 $y = 6x - 12$ の交点は、

$x^2 - 2x + 4 = 6x - 12$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

面積 $S$ は、

$S = \int_0^4 \{(x^2 - 2x + 4) - (-2x + 4)\} dx + \int_0^4 \{(6x - 12) - (x^2 - 2x + 4)\}dx$

$S = \int_0^4 (x^2) dx$

$S = \int_0^4 (x^2 - 8x + 16)dx$

$S = \int_0^4 x^2 dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3]_0^4$

$S = \frac{1}{3}(4^3 - 0^3)$

$S = \frac{64}{3}$

$S = \int_0^4 (-x^2+8x-16)dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 16x]^4_0$

$S = -\frac{64}{3} + 64 - 64 = -\frac{64}{3}$

よって、面積は $\frac{32}{3}$.

$S = \int_0^4 (x^2-2x+4)-(-2x+4)dx + \int_0^4 (6x-12)-(x^2-2x+4)dx = \int_0^4 (x^2-(-x^2+8x-16)) dx$

2つの交点は0と4なので、$S = \int_0^4 (x^2-2x+4)-(-2x+4) dx = \int_0^4 (x^2-0x+0) dx = [\frac{x^3}{3}]_0^4 = \frac{64}{3}$

$S = \int_0^4 (6x-12-(x^2-2x+4)) dx = \int_0^4 (8x-16-x^2) dx = [4x^2-16x-\frac{x^3}{3}]_0^4 = 64-64-\frac{64}{3} = -\frac{64}{3}$

$S = |\frac{64}{3}| = \frac{64}{3}$

$S = \int_0^4 |x^2-2x+4 - (-2x+4)| dx= \int_0^4 |x^2| dx= \int_0^4 x^2 dx=\frac{64}{3}$

$\int_0^4 |x^2 - 2x + 4 - (6x - 12)| dx = \int_0^4 |x^2 - 8x + 16| dx=\int_0^4 |(x-4)^2| dx = \int_0^4 (x-4)^2 dx$

$\int_0^4 (x-4)^2dx = \int_0^4 (x^2 - 8x + 16)dx=[x^3/3-4x^2+16x]^4_0 = 64/3 -64+64 = 64/3$

$S = | \int (x^2 - 2x + 4) - (-2x + 4) dx + \int (x^2 - 2x + 4) - (6x - 12)dx |$

放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積 $S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} = \frac{1}{6} 4^3 + \frac{1}{6} 0 = \frac{64}{6} =\frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 4$, $y = 6x - 12$

よって、 1 = 2, 2 = 4, 3 = 6, 4 = 1, 5 = 2

(2) 面積は $\frac{32}{3}$

よって、 6 = 3, 7 = 2, 8 = 3