$a > 0$, $b > 0$ のとき、$(\frac{8}{a} + \frac{2}{b})(\frac{a}{2} + b)$ の最小値と、最小値をとる $ab$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、$(\frac{8}{a} + \frac{2}{b})(\frac{a}{2} + b)$ の最小値と、最小値をとる $ab$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$$(\frac{8}{a} + \frac{2}{b})(\frac{a}{2} + b) = \frac{8}{a} \cdot \frac{a}{2} + \frac{8}{a} \cdot b + \frac{2}{b} \cdot \frac{a}{2} + \frac{2}{b} \cdot b = 4 + \frac{8b}{a} + \frac{a}{b} + 2 = 6 + \frac{8b}{a} + \frac{a}{b}$$

相加相乗平均の関係を使うことを考えます。$\frac{8b}{a} > 0$ かつ $\frac{a}{b} > 0$ なので、

$$\frac{\frac{8b}{a} + \frac{a}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{8b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

よって、

$$\frac{8b}{a} + \frac{a}{b} \geq 4\sqrt{2}$$

したがって、

$$6 + \frac{8b}{a} + \frac{a}{b} \geq 6 + 4\sqrt{2}$$

等号成立条件は、$\frac{8b}{a} = \frac{a}{b}$ のときです。このとき、

$8b^2 = a^2$

$a = \sqrt{8}b = 2\sqrt{2}b$

$ab = 2\sqrt{2}b^2$

$\frac{8b}{a} = \frac{a}{b} = 2\sqrt{2}$

$6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2}$

$\frac{8b}{a} = \frac{a}{b}$ のとき最小値をとるので、 $a^2 = 8b^2$ となり、$a = 2\sqrt{2}b$ です。

相加相乗平均の関係から、

$\frac{8b}{a} = \frac{a}{b}$ のとき、$\frac{8b}{a} = \frac{a}{b} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となるので

$\frac{a}{b} = 2\sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2} b$

よって $ab = 2\sqrt{2} b^2$ は、このままでは確定しません。

最小値は $6 + 4\sqrt{2}$ です。

相加相乗平均が成立するのは $\frac{8b}{a} = \frac{a}{b}$ つまり、$a^2 = 8b^2$, よって $a = 2\sqrt{2}b$ のときです。

$ab = (2\sqrt{2}b)b = 2\sqrt{2} b^2$

3. 最終的な答え

最小値：$6 + 4\sqrt{2}$

最小値をとるときの $ab$ の値：$a=2\sqrt{2}b$のとき。$ab = 2\sqrt{2}b^2$ 。$ab$の値は確定しない。