家から1800m離れた駅まで20分で行きたい。歩く速さを毎分75m、走る速さを毎分100mとする。 (1) 歩く道のりを $a$ m、走る道のりを $b$ mとして、連立方程式を作る。 (2) 歩いた時間を $x$ 分、走った時間を $y$ 分として、連立方程式を作る。 (3) (1)と(2)で作成した連立方程式をそれぞれ解く。 (4) 連立方程式の解が鉛筆15本、消しゴム4個となるような問題文を作成する。

1. 問題の内容

家から1800m離れた駅まで20分で行きたい。歩く速さを毎分75m、走る速さを毎分100mとする。

(1) 歩く道のりを $a$ m、走る道のりを $b$ mとして、連立方程式を作る。

(2) 歩いた時間を $x$ 分、走った時間を $y$ 分として、連立方程式を作る。

(3) (1)と(2)で作成した連立方程式をそれぞれ解く。

(4) 連立方程式の解が鉛筆15本、消しゴム4個となるような問題文を作成する。

2. 解き方の手順

(1) 歩く道のりを $a$ m、走る道のりを $b$ mとした連立方程式

* 道のりの合計は1800mなので、$a + b = 1800$

* 歩いた時間は $a/75$ 分、走った時間は $b/100$ 分。時間の合計は20分なので、$a/75 + b/100 = 20$

* よって、連立方程式は以下の通り。

$a + b = 1800$

$\frac{a}{75} + \frac{b}{100} = 20$

(2) 歩いた時間を $x$ 分、走った時間を $y$ 分とした連立方程式

* 時間の合計は20分なので、$x + y = 20$

* 歩いた道のりは $75x$ m、走った道のりは $100y$ m。道のりの合計は1800mなので、$75x + 100y = 1800$

* よって、連立方程式は以下の通り。

$x + y = 20$

$75x + 100y = 1800$

(3) 連立方程式を解く

(1)の連立方程式を解く。

$a + b = 1800$

$\frac{a}{75} + \frac{b}{100} = 20$

1つ目の式から $b = 1800 - a$ を得る。これを2つ目の式に代入する。

$\frac{a}{75} + \frac{1800 - a}{100} = 20$

両辺に300をかける。

$4a + 3(1800 - a) = 6000$

$4a + 5400 - 3a = 6000$

$a = 6000 - 5400 = 600$

$b = 1800 - a = 1800 - 600 = 1200$

(2)の連立方程式を解く。

$x + y = 20$

$75x + 100y = 1800$

1つ目の式から $y = 20 - x$ を得る。これを2つ目の式に代入する。

$75x + 100(20 - x) = 1800$

$75x + 2000 - 100x = 1800$

$-25x = 1800 - 2000 = -200$

$x = -200 / -25 = 8$

$y = 20 - x = 20 - 8 = 12$

(4) 問題文の作成

1本50円の鉛筆と1個80円の消しゴムを何本かずつ買ったところ、代金の合計は1070円でした。鉛筆と消しゴムをそれぞれ何本ずつ買いましたか。

3. 最終的な答え

(1)

$a + b = 1800$

$\frac{a}{75} + \frac{b}{100} = 20$

(2)

$x + y = 20$

$75x + 100y = 1800$

(3)

歩いた道のり: 600 m

走った道のり: 1200 m

歩いた時間: 8 分

走った時間: 12 分

(4)

1本50円の鉛筆と1個80円の消しゴムを何本かずつ買ったところ、代金の合計は1070円でした。鉛筆と消しゴムをそれぞれ何本ずつ買いましたか。