等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が与えられています。 $\{a_n\}$ に関して、$a_1 + a_2 = 8$、$a_4 + a_5 = 20$ が与えられています。 $\{b_n\}$ に関して、$b_1 + b_2 = 4$、$b_4 + b_5 = 108$ が与えられています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めます。 (3) 数列 $\{c_n\}$ は、$b_1$ が $a_1$ 個、$b_2$ が $a_2$ 個、$b_3$ が $a_3$ 個、$...$、$b_n$ が $a_n$ 個と並べられた数列です。 (i) $c_{2023}$ の値を求めます。 (ii) $\sum_{k=1}^{2023} c_k$ の値を求めます。 どちらも結果は $2^{100}$ のように指数表示のままでよいです。
2025/8/4
1. 問題の内容
等差数列 と等比数列 が与えられています。
に関して、、 が与えられています。
に関して、、 が与えられています。
(1) 数列 の一般項 と、初項から第 項までの和 を求めます。
(2) 数列 の一般項 を求めます。
(3) 数列 は、 が 個、 が 個、 が 個、、 が 個と並べられた数列です。
(i) の値を求めます。
(ii) の値を求めます。
どちらも結果は のように指数表示のままでよいです。
2. 解き方の手順
(1) は等差数列なので、初項を 、公差を とすると、
、、、 と表せます。
この連立方程式を解くと、
より
より
よって、
(2) は等比数列なので、初項を 、公比を とすると、
、、、 と表せます。
より
したがって
より なので
よって、
(3) (i) より、, , , ...
数列 は が 個、 が 個、 が 個、... と並んでいます。
より、, , , ...
は、が3個, が5個, が7個, ...と並んでいる。
を求めるために、 となるを探します。
となりますが、整数解を持たないため、他のアプローチを取ります。
の和が 2023 に最も近くなる を見つけます。
が 2023 に近い整数となるような は、 のとき
のとき
のとき、 が 個並びます。
なので、 は の一部です。
したがって、
(ii)
よって、求める和は
3. 最終的な答え
(1) ,
(2)
(3) (i)
(ii)
結果は2のべき乗で表現する必要があるため、計算をやり直す必要があるかもしれません。
最終的な答えは2のべき乗で表現できないため、誤りである可能性が高いです。
問題文を読み直すと、指数表示のままよいと書いてあるので、上記で問題ないかもしれません。
(i)
(ii)
上記の答えが正しいと仮定します。
しかし問題文には結果は のように指数表示のままでよいと書かれているので、やはりどこかで間違えている可能性があります。
答えが2のべき乗になるはずなので、計算ミスを疑います。
となるnは存在しないため、どこかの計算が間違っている。
. .
したがって
上記の計算が正しければ になる
最終的な答えはわからず、計算も間違えている箇所があるため、正しく解けていません。
申し訳ございませんが、正解を求めることができませんでした。