等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ が与えられています。 $\{a_n\}$ に関して、$a_1 + a_2 = 8$、$a_4 + a_5 = 20$ が与えられています。 $\{b_n\}$ に関して、$b_1 + b_2 = 4$、$b_4 + b_5 = 108$ が与えられています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求めます。 (3) 数列 $\{c_n\}$ は、$b_1$ が $a_1$ 個、$b_2$ が $a_2$ 個、$b_3$ が $a_3$ 個、$...$、$b_n$ が $a_n$ 個と並べられた数列です。 (i) $c_{2023}$ の値を求めます。 (ii) $\sum_{k=1}^{2023} c_k$ の値を求めます。 どちらも結果は $2^{100}$ のように指数表示のままでよいです。

代数学数列等差数列等比数列一般項和の公式
2025/8/4

1. 問題の内容

等差数列 {an}\{a_n\} と等比数列 {bn}\{b_n\} が与えられています。
{an}\{a_n\} に関して、a1+a2=8a_1 + a_2 = 8a4+a5=20a_4 + a_5 = 20 が与えられています。
{bn}\{b_n\} に関して、b1+b2=4b_1 + b_2 = 4b4+b5=108b_4 + b_5 = 108 が与えられています。
(1) 数列 {an}\{a_n\} の一般項 ana_n と、初項から第 nn 項までの和 SnS_n を求めます。
(2) 数列 {bn}\{b_n\} の一般項 bnb_n を求めます。
(3) 数列 {cn}\{c_n\} は、b1b_1a1a_1 個、b2b_2a2a_2 個、b3b_3a3a_3 個、......bnb_nana_n 個と並べられた数列です。
(i) c2023c_{2023} の値を求めます。
(ii) k=12023ck\sum_{k=1}^{2023} c_k の値を求めます。
どちらも結果は 21002^{100} のように指数表示のままでよいです。

2. 解き方の手順

(1) {an}\{a_n\} は等差数列なので、初項を aa、公差を dd とすると、
a1=aa_1 = aa2=a+da_2 = a + da4=a+3da_4 = a + 3da5=a+4da_5 = a + 4d と表せます。
a1+a2=a+(a+d)=2a+d=8a_1 + a_2 = a + (a + d) = 2a + d = 8
a4+a5=(a+3d)+(a+4d)=2a+7d=20a_4 + a_5 = (a + 3d) + (a + 4d) = 2a + 7d = 20
この連立方程式を解くと、
6d=126d = 12 より d=2d = 2
2a+2=82a + 2 = 8 より a=3a = 3
よって、an=a+(n1)d=3+(n1)2=2n+1a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1
Sn=n2(a1+an)=n2(3+2n+1)=n2(2n+4)=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(3 + 2n + 1) = \frac{n}{2}(2n + 4) = n(n + 2)
(2) {bn}\{b_n\} は等比数列なので、初項を bb、公比を rr とすると、
b1=bb_1 = bb2=brb_2 = brb4=br3b_4 = br^3b5=br4b_5 = br^4 と表せます。
b1+b2=b+br=b(1+r)=4b_1 + b_2 = b + br = b(1 + r) = 4
b4+b5=br3+br4=br3(1+r)=108b_4 + b_5 = br^3 + br^4 = br^3(1 + r) = 108
br3(1+r)b(1+r)=1084\frac{br^3(1 + r)}{b(1 + r)} = \frac{108}{4} より r3=27r^3 = 27
したがって r=3r = 3
b(1+3)=4b(1 + 3) = 4 より 4b=44b = 4 なので b=1b = 1
よって、bn=brn1=13n1=3n1b_n = br^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}
(3) (i) an=2n+1a_n = 2n + 1 より、a1=3a_1 = 3, a2=5a_2 = 5, a3=7a_3 = 7, ...
数列 {cn}\{c_n\}b1b_1a1a_1 個、b2b_2a2a_2 個、b3b_3a3a_3 個、... と並んでいます。
bn=3n1b_n = 3^{n-1} より、b1=1b_1 = 1, b2=3b_2 = 3, b3=9b_3 = 9, ...
cnc_n は、b1b_1が3個, b2b_2が5個, b3b_3が7個, ...と並んでいる。
a1+a2+...+an=k=1n(2k+1)=2k=1nk+k=1n1=2n(n+1)2+n=n(n+1)+n=n2+2na_1 + a_2 + ... + a_n = \sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n}k + \sum_{k=1}^{n}1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n
c2023c_{2023} を求めるために、n2+2n=2023n^2+2n = 2023 となるnnを探します。
n2+2n2023=0n^2+2n - 2023 = 0 となりますが、整数解を持たないため、他のアプローチを取ります。
ana_n の和が 2023 に最も近くなる nn を見つけます。
n(n+2)n(n+2) が 2023 に近い整数となるような nn は、n=44n = 44 のとき n(n+2)=4446=2024n(n+2) = 44 \cdot 46 = 2024
n=43n = 43 のとき n(n+2)=4345=1935n(n+2) = 43 \cdot 45 = 1935
n=44n = 44 のとき、b44b_{44}a44a_{44} 個並びます。
a44=244+1=89a_{44} = 2 \cdot 44 + 1 = 89
1935+89=2024>20231935 + 89 = 2024 > 2023 なので、c2023c_{2023}b44b_{44} の一部です。
20231935=882023 - 1935 = 88
b44=3441=343b_{44} = 3^{44-1} = 3^{43}
したがって、c2023=b44=343c_{2023} = b_{44} = 3^{43}
(ii) k=12023ck=a1b1+a2b2++a43b43+88b44\sum_{k=1}^{2023} c_k = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_{43} b_{43} + 88 b_{44}
=n=143(2n+1)3n1+88343= \sum_{n=1}^{43} (2n+1)3^{n-1} + 88 \cdot 3^{43}
S=3+53+732+...+87342+88343S = 3 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 3^2 + ... + 87 \cdot 3^{42} + 88 \cdot 3^{43}
3S=32+532+733+...+87343+893443S = 3^2 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + ... + 87 \cdot 3^{43} + 89 \cdot 3^{44}
2S=3+23+232+...+234289343-2S = 3 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ... + 2 \cdot 3^{42} - 89 \cdot 3^{43}
2S=3+23(3421)3189343=3+3(3421)89343=3+343389343=88343-2S = 3 + 2 \cdot \frac{3(3^{42}-1)}{3-1} - 89 \cdot 3^{43} = 3 + 3(3^{42}-1) - 89 \cdot 3^{43} = 3 + 3^{43}-3 - 89 \cdot 3^{43} = -88 \cdot 3^{43}
S=44343S = 44 \cdot 3^{43}
よって、求める和は 44343+88343=132343=433343=4434444 \cdot 3^{43} + 88 \cdot 3^{43} = 132 \cdot 3^{43} = 4 \cdot 33 \cdot 3^{43} = 44 \cdot 3^{44}

3. 最終的な答え

(1) an=2n+1a_n = 2n + 1, Sn=n(n+2)S_n = n(n + 2)
(2) bn=3n1b_n = 3^{n-1}
(3) (i) c2023=343c_{2023} = 3^{43}
(ii) k=12023ck=44343=411343=2211343\sum_{k=1}^{2023} c_k = 44 \cdot 3^{43} = 4 \cdot 11 \cdot 3^{43} = 2^2 \cdot 11 \cdot 3^{43}
結果は2のべき乗で表現する必要があるため、計算をやり直す必要があるかもしれません。
n=143anbn=n=143(2n+1)3n1\sum_{n=1}^{43} a_n b_n = \sum_{n=1}^{43} (2n+1) 3^{n-1}
S=3+53+732+...+87342 S = 3 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 3^2 + ... + 87 \cdot 3^{42}
3S=32+532+733+...+85342+873433S = 3^2 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + ... + 85 \cdot 3^{42} + 87 \cdot 3^{43}
2S=3+23+232+...+234287343 -2S = 3 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + ... + 2 \cdot 3^{42} - 87 \cdot 3^{43}
2S=3+k=14223k87343-2S = 3 + \sum_{k=1}^{42} 2 \cdot 3^k - 87 \cdot 3^{43}
2S=3+23(3421)3187343-2S = 3 + 2 \frac{3(3^{42} - 1)}{3-1} - 87 \cdot 3^{43}
2S=3+3(3421)87343=3+343387343=86343-2S = 3 + 3(3^{42} - 1) - 87 \cdot 3^{43} = 3 + 3^{43} - 3 - 87 \cdot 3^{43} = -86 \cdot 3^{43}
S=43343S = 43 \cdot 3^{43}
k=12023ck=43343+88343=131343\sum_{k=1}^{2023} c_k = 43 \cdot 3^{43} + 88 \cdot 3^{43} = 131 \cdot 3^{43}
最終的な答えは2のべき乗で表現できないため、誤りである可能性が高いです。
問題文を読み直すと、指数表示のままよいと書いてあるので、上記で問題ないかもしれません。
(i) c2023=343c_{2023} = 3^{43}
(ii) k=12023ck=131343\sum_{k=1}^{2023} c_k = 131 \cdot 3^{43}
上記の答えが正しいと仮定します。
しかし問題文には結果は 21002^{100} のように指数表示のままでよいと書かれているので、やはりどこかで間違えている可能性があります。
答えが2のべき乗になるはずなので、計算ミスを疑います。
n2+2n=2023n^2+2n = 2023 となるnは存在しないため、どこかの計算が間違っている。
k=12023ck=n=143anbn+(20234345)b44=n=143(2n+1)3n1+(20231935)343=n=143(2n+1)3n1+88343\sum_{k=1}^{2023} c_k = \sum_{n=1}^{43} a_n b_n + (2023 - 43*45) b_{44} = \sum_{n=1}^{43} (2n+1) 3^{n-1} + (2023 - 1935) * 3^{43} = \sum_{n=1}^{43} (2n+1) 3^{n-1} + 88* 3^{43}
a43=2(43)+1=87a_{43} = 2(43) + 1 = 87. a44=2(44)+1=89a_{44} = 2(44) + 1 = 89.
a1+...+an=3+5+...+(2n+1)=k=1n(2k+1)=2k=1nk+n=2n(n+1)2+n=n(n+1)+n=n2+2n a_1 + ... + a_n = 3 + 5+ ... + (2n+1) = \sum_{k=1}^n (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^n k + n = 2 \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1)+ n = n^2 + 2n
したがってa1+...+a43=432+243=1849+86=1935 a_1 + ... + a_{43} = 43^2 + 2*43 = 1849 + 86 = 1935
上記の計算が正しければc1+...+c1935=a1b1+..a43b43 c_1 + ... + c_{1935} = a_1 b_1 + .. a_{43} b_{43} になる
c1+...+c2023=k=143akbk+k=19362023ck c_1 + ... +c_{2023} = \sum_{k=1}^{43} a_kb_k + \sum_{k=1936}^{2023} c_k
最終的な答えはわからず、計算も間違えている箇所があるため、正しく解けていません。
申し訳ございませんが、正解を求めることができませんでした。

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