問題は、因数定理を用いて次の整式を因数分解することです。 (1) $x^3 + 3x^2 - 4$ (2) $2x^3 + 21x^2 + 49x - 30$

1. 問題の内容

問題は、因数定理を用いて次の整式を因数分解することです。

(1) $x^3 + 3x^2 - 4$

(2) $2x^3 + 21x^2 + 49x - 30$

2. 解き方の手順

(1)

因数定理を使って $x^3 + 3x^2 - 4$ を因数分解します。

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ とおきます。

$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ なので、$x - 1$ は $f(x)$ の因数です。

したがって、$x^3 + 3x^2 - 4$ を $x - 1$ で割ると、

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)$

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

よって、$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2$

(2)

因数定理を使って $2x^3 + 21x^2 + 49x - 30$ を因数分解します。

$g(x) = 2x^3 + 21x^2 + 49x - 30$ とおきます。

$g(1) = 2(1)^3 + 21(1)^2 + 49(1) - 30 = 2 + 21 + 49 - 30 = 42 \neq 0$

$g(-1) = 2(-1)^3 + 21(-1)^2 + 49(-1) - 30 = -2 + 21 - 49 - 30 = -60 \neq 0$

$g(2) = 2(2)^3 + 21(2)^2 + 49(2) - 30 = 16 + 84 + 98 - 30 = 168 \neq 0$

$g(-2) = 2(-2)^3 + 21(-2)^2 + 49(-2) - 30 = -16 + 84 - 98 - 30 = -60 \neq 0$

$g(\frac{2}{1}) =$

$g(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 + 21(\frac{3}{2})^2 + 49(\frac{3}{2}) - 30 = 2\cdot\frac{27}{8} + 21\cdot\frac{9}{4} + \frac{147}{2} - 30 = \frac{27}{4} + \frac{189}{4} + \frac{294}{4} - \frac{120}{4} = \frac{390}{4} \neq 0$

$g(\frac{2}{1}) = 2(\frac{2}{1})^3 + 21(\frac{2}{1})^2 + 49(\frac{2}{1}) - 30 =$

$g(\frac{3}{1}) =$

$g(\frac{2}{2}) =$

$g(\frac{2}{3}) =$

$g(\frac{5}{2}) =$

$g(-5) = 2(-5)^3 + 21(-5)^2 + 49(-5) - 30 = -250 + 525 - 245 - 30 = 0$

よって、$x + 5$ は $g(x)$ の因数です。

$2x^3 + 21x^2 + 49x - 30$ を $x + 5$ で割ると、

$2x^3 + 21x^2 + 49x - 30 = (x + 5)(2x^2 + 11x - 6)$

さらに、$2x^2 + 11x - 6$ を因数分解します。

$2x^2 + 11x - 6 = (2x - 1)(x + 6)$

よって、$2x^3 + 21x^2 + 49x - 30 = (x + 5)(2x - 1)(x + 6)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + 2)^2$

(2) $(x + 5)(2x - 1)(x + 6)$