与えられた分数式の引き算 $\frac{2}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 + 2x}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

与えられた分数式の引き算 $\frac{2}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 + 2x}$ を計算し、最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解する。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 + 2x = x(x + 2)$

次に、通分するために共通の分母を求める。共通の分母は $x(x - 2)(x + 2)$ となる。

それぞれの分数を共通の分母で表す。

$\frac{2}{x^2 - 4} = \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x}{x(x - 2)(x + 2)}$

$\frac{1}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x(x + 2)} = \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 2)}$

それぞれの分数を引き算する。

$\frac{2x}{x(x - 2)(x + 2)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - (x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)}$

分子を整理する。

$\frac{2x - (x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - x + 2}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{x(x - 2)(x + 2)}$

分子と分母に共通の因子 $(x + 2)$ があるので、約分する。ただし、$x \neq -2$ とする。

$\frac{x + 2}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{1}{x^2 - 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x^2 - 2x}$

選択肢の3が正解。