等式 $\frac{7x+25}{(x+3)(x+4)} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+4}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

代数学分数式部分分数分解恒等式連立方程式
2025/8/4

1. 問題の内容

等式 7x+25(x+3)(x+4)=ax+3+bx+4\frac{7x+25}{(x+3)(x+4)} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+4}xx についての恒等式となるように、定数 aa, bb の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。
ax+3+bx+4=a(x+4)+b(x+3)(x+3)(x+4)=ax+4a+bx+3b(x+3)(x+4)=(a+b)x+(4a+3b)(x+3)(x+4)\frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+4} = \frac{a(x+4) + b(x+3)}{(x+3)(x+4)} = \frac{ax + 4a + bx + 3b}{(x+3)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a+3b)}{(x+3)(x+4)}
よって、与えられた等式は
7x+25(x+3)(x+4)=(a+b)x+(4a+3b)(x+3)(x+4)\frac{7x+25}{(x+3)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a+3b)}{(x+3)(x+4)}
となります。
これが恒等式であるためには、分子が等しくなければなりません。つまり、
7x+25=(a+b)x+(4a+3b)7x+25 = (a+b)x + (4a+3b)
が任意の xx について成立する必要があります。
したがって、xx の係数と定数項を比較して、以下の連立方程式を得ます。
a+b=7a+b=7 (1)
4a+3b=254a+3b=25 (2)
(1) より b=7ab=7-a なので、これを (2) に代入します。
4a+3(7a)=254a + 3(7-a) = 25
4a+213a=254a + 21 - 3a = 25
a=2521a = 25 - 21
a=4a = 4
b=7a=74=3b = 7 - a = 7 - 4 = 3
したがって、a=4a=4, b=3b=3

3. 最終的な答え

a=4a=4, b=3b=3

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