3次方程式 $x^3 - 27 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 27 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^3 - 27 = 0$である。

これは $x^3 = 27$ と書き換えることができる。

ここで、 $27 = 3^3$ であるから、$x^3 = 3^3$ となる。

この方程式は $x^3 - 3^3 = 0$ と変形できる。

左辺を因数分解すると、$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ となる。

したがって、$x - 3 = 0$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$。

$x - 3 = 0$ より、$x = 3$。

$x^2 + 3x + 9 = 0$ を解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ において、$a = 1, b = 3, c = 9$ を代入すると、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{27}i}{2}$

$x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

したがって、解は $x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$x = 3, \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

選択肢の5番が正解です。

$x = 3, x = \frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}, x = \frac{-3-3\sqrt{3}i}{2}$