与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には、係数行列の行列式の計算、およびx, y, zの値を求める過程での行列式を計算する穴埋め問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $2x - y + z = 3$ $x + y + 2z = 9$ $x - 2y + z = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。具体的には、係数行列の行列式の計算、およびx, y, zの値を求める過程での行列式を計算する穴埋め問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$2x - y + z = 3$

$x + y + 2z = 9$

$x - 2y + z = 0$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列Aの行列式|A|を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$|A| = 2(1\cdot1 - 2\cdot(-2)) - (-1)(1\cdot1 - 2\cdot1) + 1(1\cdot(-2) - 1\cdot1) = 2(1+4) + (1-2) + (-2-1) = 2(5) - 1 - 3 = 10 - 1 - 3 = 6$

(2) xの値を求めます。クラメルの公式より、xは係数行列Aの第1列を定数項で置き換えた行列の行列式を|A|で割ったものです。

$x = \frac{1}{|A|} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 9 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

$x = \frac{1}{6} [3(1\cdot1 - 2\cdot(-2)) - (-1)(9\cdot1 - 2\cdot0) + 1(9\cdot(-2) - 1\cdot0)] = \frac{1}{6} [3(1+4) + (9-0) + (-18-0)] = \frac{1}{6} [3(5) + 9 - 18] = \frac{1}{6} [15 + 9 - 18] = \frac{1}{6} [6] = 1$

(3) yの値を求めます。クラメルの公式より、yは係数行列Aの第2列を定数項で置き換えた行列の行列式を|A|で割ったものです。

$y = \frac{1}{|A|} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 9 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$y = \frac{1}{6} [2(9\cdot1 - 2\cdot0) - 3(1\cdot1 - 2\cdot1) + 1(1\cdot0 - 9\cdot1)] = \frac{1}{6} [2(9) - 3(1-2) + (0-9)] = \frac{1}{6} [18 - 3(-1) - 9] = \frac{1}{6} [18 + 3 - 9] = \frac{1}{6} [12] = 2$

(4) zの値を求めます。クラメルの公式より、zは係数行列Aの第3列を定数項で置き換えた行列の行列式を|A|で割ったものです。

$z = \frac{1}{|A|} \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$

$z = \frac{1}{6} [2(1\cdot0 - 9\cdot(-2)) - (-1)(1\cdot0 - 9\cdot1) + 3(1\cdot(-2) - 1\cdot1)] = \frac{1}{6} [2(0+18) + (0-9) + 3(-2-1)] = \frac{1}{6} [2(18) - 9 + 3(-3)] = \frac{1}{6} [36 - 9 - 9] = \frac{1}{6} [18] = 3$

3. 最終的な答え

(1) |A| = 6

(2) x = 1

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 9 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 6$

(3) y = 2

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 9 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 12$

(4) z = 3

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 18$