三角形ABCにおいて、∠B = 75°、ADはBCへの垂線、BEはCAへの垂線である。また、AD = DC、AE = 2である。 (1) 線分AD, BDの長さを求めよ。 (2) sin 75°, cos 75°の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠B = 75°、ADはBCへの垂線、BEはCAへの垂線である。また、AD = DC、AE = 2である。

(1) 線分AD, BDの長さを求めよ。

(2) sin 75°, cos 75°の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分AD, BDの長さを求める。

三角形ABDについて、∠ADB = 90°である。∠ABD = 75°なので、∠BAD = 15°となる。

三角形ADCについて、AD = DCなので、三角形ADCは二等辺三角形である。∠DAC = ∠DCA = θとすると、

$2\theta + 90^\circ = 180^\circ$

$2\theta = 90^\circ$

$\theta = 45^\circ$

したがって、∠DAC = 45°である。

三角形ABEにおいて、∠AEB = 90°であり、∠BAE = ∠BAC - ∠EAC = (∠BAD + ∠DAC) - ∠EAC = (15°+45°)-∠EAC = 60° - ∠EAC

∠ABE = 15°なので、∠BAC = 60°

∠C = 45°

∠A = 60°

したがって、∠EAC = 15°

したがって、AD = DCであるから、三角形ADCは直角二等辺三角形なので、AC = $\sqrt{2}AD$

三角形ABEにおいて、sin15° = AE/AB = 2/ABであるから、AB = 2/sin15°

三角形ABDにおいて、AD = ABcos15°=2cos15°/sin15°= 2/tan15°

また、三角形ABDにおいて、BD = ABsin15° = 2

tan 15° = 2 - √3

cos 15° = (√6 + √2)/4

sin 15° = (√6 - √2)/4

AD = 2/(2 - √3) = 2(2 + √3) = 4 + 2√3

BD = ADtan15 = (4 + 2√3)(2 - √3) = 8 - 4√3 + 4√3 - 6 = 2

(2) sin 75°, cos 75°の値を求める。

sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = $(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30° = $(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) AD = $4 + 2\sqrt{3}$, BD = 2

(2) sin 75° = $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, cos 75° = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$