問題29は、与えられた数を $a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。具体的には以下の4つの数について、$a\sqrt{b}$ の形に変形します。 (1) $\sqrt{20}$ (2) $\sqrt{75}$ (3) $\sqrt{108}$ (4) $\sqrt{\frac{7}{36}}$ さらに、以下の5つの式を計算します。 (2) $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$ (3) $\sqrt{42} \div \sqrt{14}$ (4) $\sqrt{18} \times \sqrt{27}$ (5) $\sqrt{5} \times \sqrt{12} \div \sqrt{15}$

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定の形式で回答します。

1. 問題の内容

問題29は、与えられた数を $a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。具体的には以下の4つの数について、$a\sqrt{b}$ の形に変形します。

(1) $\sqrt{20}$

(2) $\sqrt{75}$

(3) $\sqrt{108}$

(4) $\sqrt{\frac{7}{36}}$

さらに、以下の5つの式を計算します。

(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$

(3) $\sqrt{42} \div \sqrt{14}$

(4) $\sqrt{18} \times \sqrt{27}$

(5) $\sqrt{5} \times \sqrt{12} \div \sqrt{15}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{20}$ の変形：

20を素因数分解すると、$20 = 2^2 \times 5$。よって、

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{75}$ の変形：

75を素因数分解すると、$75 = 3 \times 5^2$。よって、

$\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 5^2} = \sqrt{3} \times \sqrt{5^2} = 5\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{108}$ の変形：

108を素因数分解すると、$108 = 2^2 \times 3^3 = 2^2 \times 3^2 \times 3$。よって、

$\sqrt{108} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 3} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{3} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{\frac{7}{36}}$ の変形：

$\sqrt{\frac{7}{36}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{7}}{6}$

(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$の計算：

$\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18} = \sqrt{2 \times 3^2} = 3\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{42} \div \sqrt{14}$の計算：

$\sqrt{42} \div \sqrt{14} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{42}{14}} = \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{18} \times \sqrt{27}$の計算：

$\sqrt{18} \times \sqrt{27} = \sqrt{18 \times 27} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 3^3} = \sqrt{2 \times 3^5} = \sqrt{2 \times 3^4 \times 3} = 3^2 \sqrt{2 \times 3} = 9\sqrt{6}$

(5) $\sqrt{5} \times \sqrt{12} \div \sqrt{15}$の計算：

$\sqrt{5} \times \sqrt{12} \div \sqrt{15} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{12}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5 \times 12}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{60}{15}} = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) $5\sqrt{3}$

(3) $6\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{7}}{6}$

(2) $3\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3}$

(4) $9\sqrt{6}$

(5) $2$