問題は、定積分 $\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2x \cos x \, dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2x \cos x \, dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、置換積分法を用いて積分を計算します。

$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x = \pi/2$ のとき、$u = \sin(\pi/2) = 1$ であり、

$x = \pi$ のとき、$u = \sin(\pi) = 0$ です。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2x \cos x \, dx = \int_{1}^{0} u^2 \, du$

積分の順序を入れ替えると、符号が変わるので、

$\int_{1}^{0} u^2 \, du = -\int_{0}^{1} u^2 \, du$

$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C$ なので、

$-\int_{0}^{1} u^2 \, du = -\left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = -\left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$