実数 $c$ は $1 < c < 3$ を満たし、数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = c$, $a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n^2 + \frac{3}{4}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。 (1) 全ての自然数 $n$ に対して $1 < a_n < 3$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示し、$a_n$ と $a_{n+1}$ の大小を比較する。 (2) $r = \frac{c+1}{4}$ とおくとき、全ての $n \ge 2$ に対して $a_{n+1} - 1 < r(a_n - 1)$ が成り立つことを示す。 (3) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $c$ は $1 < c < 3$ を満たし、数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = c$, $a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n^2 + \frac{3}{4}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義される。

(1) 全ての自然数 $n$ に対して $1 < a_n < 3$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示し、$a_n$ と $a_{n+1}$ の大小を比較する。

(2) $r = \frac{c+1}{4}$ とおくとき、全ての $n \ge 2$ に対して $a_{n+1} - 1 < r(a_n - 1)$ が成り立つことを示す。

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で $1 < a_n < 3$ を示す。

- $n=1$ のとき、$a_1 = c$ であり $1 < c < 3$ より成立。

- $n=k$ のとき、$1 < a_k < 3$ が成り立つと仮定する。

- $n=k+1$ のとき、$1 < a_{k+1} < 3$ を示す。

$a_{k+1} = \frac{1}{4} a_k^2 + \frac{3}{4}$ である。

$1 < a_k < 3$ より $1 < a_k^2 < 9$。よって $\frac{1}{4} < \frac{1}{4}a_k^2 < \frac{9}{4}$。

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} < \frac{1}{4}a_k^2 + \frac{3}{4} < \frac{9}{4} + \frac{3}{4}$

$1 < a_{k+1} < 3$ となるので、$n=k+1$ のときも成立。

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{4}a_n^2 + \frac{3}{4} - a_n = \frac{1}{4}(a_n^2 - 4a_n + 3) = \frac{1}{4}(a_n - 1)(a_n - 3)$。

$1 < a_n < 3$ より $a_n - 1 > 0$ かつ $a_n - 3 < 0$。したがって $a_{n+1} - a_n < 0$。

よって、$a_{n+1} < a_n$。

(2) $a_{n+1} - 1 < r(a_n - 1)$ を示す。

$a_{n+1} - 1 = \frac{1}{4}a_n^2 + \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{4}a_n^2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(a_n^2 - 1) = \frac{1}{4}(a_n - 1)(a_n + 1)$。

$r = \frac{c+1}{4}$ より、$r(a_n - 1) = \frac{c+1}{4}(a_n - 1)$。

$a_{n+1} - 1 < r(a_n - 1)$ を示すには $\frac{1}{4}(a_n - 1)(a_n + 1) < \frac{c+1}{4}(a_n - 1)$ を示す必要がある。

$a_n - 1 > 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{4}(a_n - 1)$ で割ると、$a_n + 1 < c + 1$。

$a_n < c$ を示せば良い。これは、$a_2<c$を示し、帰納的に$a_n<c$を示すことで可能になる。

$a_2 = \frac{1}{4}c^2+\frac{3}{4}$

$a_2-c = \frac{1}{4}c^2+\frac{3}{4}-c = \frac{1}{4}(c^2-4c+3)=\frac{1}{4}(c-1)(c-3)<0$

より、$a_2<c$が成立する。

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

数列 $\{a_n\}$ は単調減少で下に有界（1より大きい）だから、極限値 $L$ が存在する。

$L = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}$ とおくと、$a_{n+1} = \frac{1}{4}a_n^2 + \frac{3}{4}$ より、$L = \frac{1}{4}L^2 + \frac{3}{4}$。

$4L = L^2 + 3$。$L^2 - 4L + 3 = 0$。$(L - 1)(L - 3) = 0$。よって $L = 1, 3$。

$a_n > 1$ より $L \ge 1$ である。また $a_n$ は単調減少なので、$L \le a_1 = c < 3$。

$a_{n+1}-1<r(a_n-1)$より、$a_{n+1}-1<(\frac{c+1}{4})(a_n-1)$。$L=1$。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a_n < 3$ は成立し、$a_{n+1} < a_n$。

(2) $a_{n+1} - 1 < r(a_n - 1)$ は成立する。

(3) $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$