画像に示された数学の問題を解きます。具体的には、ベクトルの計算、行列の計算、連立一次方程式の解法、行列式の計算、逆行列の計算を行います。

1. 問題の内容

画像に示された数学の問題を解きます。具体的には、ベクトルの計算、行列の計算、連立一次方程式の解法、行列式の計算、逆行列の計算を行います。

2. 解き方の手順

問題１（１）

(i) $-2a+8b$ を計算します。

$a = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ -7 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ -1 \end{bmatrix}$ なので、

$-2a = \begin{bmatrix} -10 \\ 8 \\ 14 \end{bmatrix}$, $8b = \begin{bmatrix} -16 \\ 56 \\ -8 \end{bmatrix}$

$-2a + 8b = \begin{bmatrix} -10-16 \\ 8+56 \\ 14-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -26 \\ 64 \\ 6 \end{bmatrix}$

(ii) $||3a||$ を計算します。

$3a = \begin{bmatrix} 15 \\ -12 \\ -21 \end{bmatrix}$

$||3a|| = \sqrt{15^2 + (-12)^2 + (-21)^2} = \sqrt{225 + 144 + 441} = \sqrt{810} = \sqrt{81 \times 10} = 9\sqrt{10}$

(iii) 内積 $a \cdot b$ を計算します。

$a \cdot b = (5)(-2) + (-4)(7) + (-7)(-1) = -10 - 28 + 7 = -31$

(iv) $a$ と $b$ のなす角 $\theta$ に対して、$\cos \theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{||a|| ||b||}$

$||a|| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 16 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$||b|| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 49 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

$\cos \theta = \frac{-31}{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{-31}{9\sqrt{60}} = \frac{-31}{9 \cdot 2\sqrt{15}} = \frac{-31}{18\sqrt{15}}$

問題２（１）

連立一次方程式

$5x+y-2z=0$

$x+3y+2z=2$

$2x-2y+z=6$

を掃き出し法で解きます。

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引きます。

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & -14 & -12 & -10 \\ 0 & -8 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

2行目を-14で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 6/7 & 5/7 \\ 0 & -8 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の8倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 6/7 & 5/7 \\ 0 & 0 & 27/7 & 54/7 \end{bmatrix}$

3行目を27/7で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 6/7 & 5/7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の6/7倍を引きます。

1行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1/7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -11/7 \\ 0 & 1 & 0 & -1/7 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

よって、$x = -\frac{11}{7}$, $y = -\frac{1}{7}$, $z = 2$

3. 最終的な答え

問題１（１）

(i) $\begin{bmatrix} -26 \\ 64 \\ 6 \end{bmatrix}$

(ii) $9\sqrt{10}$

(iii) -31

(iv) $\frac{-31}{18\sqrt{15}}$

問題２（１）

$x = -\frac{11}{7}$, $y = -\frac{1}{7}$, $z = 2$