複素数の絶対値を求める問題です。具体的には以下の8つの複素数または複素数の式について絶対値を計算します。 (1) $|i|$ (2) $|12+5i|$ (3) $|\sqrt{5}+2i|$ (4) $|3-\sqrt{7}i|$ (5) $|(1+3i)(2-i)|$ (6) $|(2-i)^2|$ (7) $|\frac{2}{1+i}|$ (8) $|\sqrt{1+2i}|$

1. 問題の内容

複素数の絶対値を求める問題です。具体的には以下の8つの複素数または複素数の式について絶対値を計算します。

(1) $|i|$

(2) $|12+5i|$

(3) $|\sqrt{5}+2i|$

(4) $|3-\sqrt{7}i|$

(5) $|(1+3i)(2-i)|$

(6) $|(2-i)^2|$

(7) $|\frac{2}{1+i}|$

(8) $|\sqrt{1+2i}|$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の絶対値 $|z|$ は、 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義されます。

(1) $|i| = |0+1i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$

(2) $|12+5i| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

(3) $|\sqrt{5}+2i| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$

(4) $|3-\sqrt{7}i| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{7})^2} = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4$

(5) $|(1+3i)(2-i)| = |2 - i + 6i - 3i^2| = |2 + 5i + 3| = |5+5i| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(6) $|(2-i)^2| = |4 - 4i + i^2| = |4 - 4i - 1| = |3-4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

(7) $|\frac{2}{1+i}| = \frac{|2|}{|1+i|} = \frac{2}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(8) $|\sqrt{1+2i}| = \sqrt{|1+2i|} = \sqrt{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{\sqrt{1+4}} = \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[4]{5}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 13

(3) 3

(4) 4

(5) $5\sqrt{2}$

(6) 5

(7) $\sqrt{2}$

(8) $\sqrt[4]{5}$