$x$ の3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考える問題です。具体的には、与えられた3次方程式が異なる3つの実数解を持つ条件や、その解の範囲に関する条件を満たすような $k$ の範囲を求めます。また、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ という関数に関する増減や、グラフの概形を把握することも含まれています。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の解について考える問題です。具体的には、与えられた3次方程式が異なる3つの実数解を持つ条件や、その解の範囲に関する条件を満たすような $k$ の範囲を求めます。また、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ という関数に関する増減や、グラフの概形を把握することも含まれています。

2. 解き方の手順

(1)

例えば、$k = 3$ のとき、方程式は $x^3 - 3x^2 = 0$ となり、$x^2(x - 3) = 0$ と因数分解できます。したがって、$x = 0, 3$ となります。$0 < 3$ なので、ア=$0$, イ=$3$ です。

(2)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ について、$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ となります。したがって、ウ=$3$, エ=$6$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときなので、$f(x)$ は $x = 0$ で極大値をとり、$x = 2$ で極小値をとります。したがって、オ=$0$, カ=$2$ です。

$f(0) = 3$ であり、$f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1$ です。

(3)

方程式 $x^3 - 3x^2 + 3 = k$ の実数解は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の $x$ 座標である。$f(x)$ が異なる3つの実数解を持つためには、極大値と極小値の間に $k$ が存在する必要があります。したがって、 $-1 < k < 3$ です。ク=-1, コ=3 です。

(4)

$x^3 - 3x^2 + 3 = k$ が異なる3つの実数解を持ち、そのうち2つが1より小さい条件を考えます。$f(1) = 1 - 3 + 3 = 1$ です。$-1< k < 1$であれば、異なる３つの実数解を持ち、そのうち2つが1より小さい。したがって、サ＝-1, シ=1 です。

$f(x) = k$ の解のうち最大のものを $\alpha$ とします。$\alpha > 1$ なので、$1 < \alpha < 3$ となる必要があります。

$\alpha$ が 3 に近づくとき、$k$ は 3 に近づきます。

$f(1) = 1$ より、ス=1, セ=1, ソ=3 です。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：3

ウ：3

エ：6

オ：0

カ：2

キ：共有点のx座標

ク：-1

ケ：-1

コ：3

サ：-1

シ：1

ス：1

セ：1

ソ：3