正方形の白いタイルと黒いタイルを使って、ある規則に従って模様を作っていく。 (1) 6番目の模様について、白いタイルと黒いタイルの個数を求める。 (2) $n$番目の模様について、白いタイルと黒いタイルの個数を$n$を使った式で表す。 (3) それぞれの模様において、タイルの総数は必ず奇数になることを(2)の結果を用いて証明する。 (4) タイルの総数が181個になるのは、何番目の模様か求める。

## 回答

1. 問題の内容

正方形の白いタイルと黒いタイルを使って、ある規則に従って模様を作っていく。

(1) 6番目の模様について、白いタイルと黒いタイルの個数を求める。

(2) $n$番目の模様について、白いタイルと黒いタイルの個数を$n$を使った式で表す。

(3) それぞれの模様において、タイルの総数は必ず奇数になることを(2)の結果を用いて証明する。

(4) タイルの総数が181個になるのは、何番目の模様か求める。

2. 解き方の手順

(1) 6番目の模様について、白と黒のタイルの個数を数える。規則性から、白のタイルは$n$個ずつ$n$列に並べられ、黒のタイルは、白のタイルで囲まれた部分に配置されることがわかる。

したがって、6番目の模様では、白のタイルは$6 \times 6 = 36$個である。

黒のタイルは、それぞれの白のタイルの間に配置される。1番目の模様には黒のタイルはない。2番目の模様には$1 \times 1 = 1$個の黒のタイルがある。3番目の模様には$2 \times 2 = 4$個の黒のタイルがある。よって、6番目の模様には$5 \times 5 = 25$個の黒のタイルがある。

(2) $n$番目の模様について、

白のタイルの個数は$n \times n = n^2$個である。

黒のタイルの個数は$(n-1) \times (n-1) = (n-1)^2$個である。

(3) タイルの総数は、白のタイルの個数と黒のタイルの個数の和であるから、

$n^2 + (n-1)^2 = n^2 + n^2 - 2n + 1 = 2n^2 - 2n + 1 = 2(n^2 - n) + 1$となる。

$n^2 - n$は整数なので、$2(n^2 - n)$は偶数である。したがって、$2(n^2 - n) + 1$は奇数である。

よって、タイルの総数は必ず奇数となる。

(4) タイルの総数が181個となるのは、

$2n^2 - 2n + 1 = 181$

$2n^2 - 2n - 180 = 0$

$n^2 - n - 90 = 0$

$(n - 10)(n + 9) = 0$

$n = 10, -9$

$n$は自然数なので、$n = 10$

したがって、10番目の模様である。

3. 最終的な答え

(1) 白のタイル: 36個、黒のタイル: 25個

(2) 白のタイル: $n^2$個、黒のタイル: $(n-1)^2$個

(3) タイルの総数は$2n^2 - 2n + 1 = 2(n^2 - n) + 1$で、これは奇数である。

(4) 10番目