関数 $y = (x-a)^2 + 1$ の $-4 \leq x \leq 0$ における最大値を求める問題です。ただし、aの値によって場合分けする必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 + 1$ の $-4 \leq x \leq 0$ における最大値を求める問題です。ただし、aの値によって場合分けする必要があります。

2. 解き方の手順

$y = (x-a)^2 + 1$ は下に凸の放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域 $-4 \leq x \leq 0$ における最大値は、軸が定義域の範囲内にあるか、範囲外にあるかで変わります。

i) $a < -4$ のとき、軸 $x = a$ は定義域よりも左にあります。この場合、$x$ が大きいほど $y$ の値も大きくなるので、$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $y = (0 - a)^2 + 1 = a^2 + 1$ となります。

ii) $-4 \leq a \leq 0$のとき、軸は定義域の範囲内にあります。この場合、軸から遠い方の端点で最大値をとります。

$|a - (-4)| > |a - 0|$ つまり $|a+4| > |a|$ が成り立つときは、$x=-4$ で最大値をとります。$y = (-4 - a)^2 + 1 = (a+4)^2 + 1 = a^2 + 8a + 16 + 1 = a^2 + 8a + 17$ となります。

$|a - (-4)| < |a - 0|$ つまり $|a+4| < |a|$ が成り立つときは、$x=0$ で最大値をとります。最大値は $a^2+1$です。

$|a+4| = |a|$ のとき、$a = -2$です。$a < -2$ ならば $|a+4| > |a|$ であり、$a > -2$ ならば $|a+4| < |a|$です。

したがって、$-4 \leq a \leq 0$ の場合をさらに場合分けします。

- $-4 \leq a < -2$ のとき、$x = -4$ で最大値 $a^2 + 8a + 17$

- $a = -2$ のとき、$x = -4, 0$ で最大値 5

- $-2 < a \leq 0$ のとき、$x = 0$ で最大値 $a^2 + 1$

iii) $0 < a$ のとき、軸 $x = a$ は定義域よりも右にあります。この場合、$x$ が小さいほど $y$ の値も大きくなるので、$x = -4$ で最大値をとります。

最大値は $y = (-4 - a)^2 + 1 = (a+4)^2 + 1 = a^2 + 8a + 17$ となります。

問題の空欄の形から、i)とii)の場合のみを考慮すればよいと判断できます。

i) $a < -4$ のとき、 $x = 0$ で最大値 $a^2 + 1$

ii) $-4 \leq a$ のとき、$x = -4$ で最大値 $a^2 + 8a + 17$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、 $x = 0$ で最大値 $a^2+1$

ii) $-4 \leq a$ のとき、 $x = -4$ で最大値 $a^2+8a+17$