二次関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ について、$-4 \le x \le 0$ の範囲における最大値を求める問題です。場合分けとして、$a < \square$ のときと $\square \le a$ のときについて、それぞれ最大値をとる $x$ の値と、その最大値を答えます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2(x-a)^2 - 3$ について、$-4 \le x \le 0$ の範囲における最大値を求める問題です。場合分けとして、$a < \square$ のときと $\square \le a$ のときについて、それぞれ最大値をとる $x$ の値と、その最大値を答えます。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2(x-a)^2 - 3$ は、下に凸の二次関数であり、軸は $x = a$ です。区間 $-4 \le x \le 0$ における最大値を考えます。

i) $a < -4$ のとき

この場合、軸 $x=a$ は区間 $-4 \le x \le 0$ の左側にあります。したがって、$x$ が区間内で最も大きい値をとるときに、$y$ は最大値をとります。つまり、$x = 0$ で最大となります。このとき、$y = 2(0-a)^2 - 3 = 2a^2 - 3$ が最大値です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき

この場合、軸 $x=a$ は区間 $-4 \le x \le 0$ の中にあります。したがって、軸から最も遠い $x$ の値で $y$ は最大値をとります。$x = -4$ の場合、$y = 2(-4-a)^2 - 3 = 2(a+4)^2 - 3 = 2(a^2 + 8a + 16) - 3 = 2a^2 + 16a + 29$です。$x = 0$ の場合、$y = 2(0-a)^2 - 3 = 2a^2 - 3$ です。

ここで、$2a^2 + 16a + 29 - (2a^2 - 3) = 16a + 32 = 16(a + 2)$ となります。

$a+2$ の正負によってどちらが大きいか変わります。

$a < -2$ なら $x=-4$ のとき最大値 $2a^2 + 16a + 29$

$a > -2$ なら $x=0$ のとき最大値 $2a^2 - 3$

$a = -2$ なら どちらも等しく $8 - 3 = 5$

ただし$-4 \le a \le 0$ なので場合分けが必要です。

-4 <= a <= -2 のとき、$x=-4$ で最大値 $2a^2 + 16a + 29$

-2 < a <= 0 のとき、$x=0$ で最大値 $2a^2 - 3$

まとめると、

i) $a < -2$ のとき、 $x=-4$ で最大値 $2a^2+16a+29$

ii) $-2 \le a$ のとき、$x=0$ で最大値 $2a^2-3$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $2a^2 - 3$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x = -4$ または $x = 0$

i) $a < -4$ のとき、

$x = 0$ で最大値 $2a^2 - 3$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、

$-4 \le a < -2$ のとき、$x=-4$ で最大値 $2(a+4)^2 - 3 = 2a^2 + 16a + 29$

$-2 \le a \le 0$ のとき、$x=0$ で最大値 $2a^2 - 3$

最終解答

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $2a^2 - 3$

ii) $-4 \le a$ のとき、$x=-4$

または、$x=0$