2次関数 $y=3(x-a)^2 - 3$ の $-2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。場合分けをして、それぞれの最大値を求める必要があります。

1. 問題の内容

2次関数 $y=3(x-a)^2 - 3$ の $-2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。場合分けをして、それぞれの最大値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$y=3(x-a)^2 - 3$ です。これは下に凸の2次関数で、頂点の座標は $(a, -3)$ です。定義域は $-2 \le x \le 4$ です。最大値は、軸から最も遠い点で取ります。

i) $a < 1$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中央である $x=1$ より小さい場合を考えます。

このとき、$x=-2$ の方が軸から遠くなるので、$x=-2$ で最大値を取ります。

$y=3(-2-a)^2 - 3 = 3(a+2)^2 - 3 = 3(a^2+4a+4) - 3 = 3a^2 + 12a + 12 - 3 = 3a^2 + 12a + 9$

$a < 1$ なので、$a$ の条件を考えます。軸が定義域の中央より小さいので、$a < 1$となります。

ii) $a \ge 1$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中央である $x=1$ 以上の場合を考えます。

このとき、$x=4$ の方が軸から遠くなるので、$x=4$ で最大値を取ります。

$y=3(4-a)^2 - 3 = 3(a-4)^2 - 3 = 3(a^2 - 8a + 16) - 3 = 3a^2 - 24a + 48 - 3 = 3a^2 - 24a + 45$

$a \ge 1$ なので、$a$ の条件を考えます。軸が定義域の中央以上なので、$1 \le a$となります。

3. 最終的な答え

i) $a < 1$ のとき、$x=-2$ で最大値 $3a^2+12a+9$

ii) $1 \le a$ のとき、$x=4$ で最大値 $3a^2 - 24a + 45$