関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。最大値を取る $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。最大値を取る $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の範囲によって場合分けして答えます。

2. 解き方の手順

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ は、下に凸の放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域は $2 \le x \le 4$ です。最大値は、軸から最も離れた $x$ で取ります。

(i) $a < 3$ のとき

軸 $x = a$ が定義域の中央 ($x=3$) より小さい場合、つまり $a < 3$ の場合を考えます。

* $a < 2$ のとき、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は大きくなるため、$x=4$ で最大値を取ります。

* $2 \le a < 3$ のときも同様に、$x=4$ で最大値を取ります。

$x = 4$ のとき、

$y = (4-a)^2 - 2 = 16 - 8a + a^2 - 2 = a^2 - 8a + 14$.

(ii) $a \ge 3$ のとき

軸 $x = a$ が定義域の中央 ($x=3$) より大きい、または等しい場合、つまり $a \ge 3$ の場合を考えます。

このとき、軸は定義域の右側にあるので、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ は大きくなるため、$x=2$ で最大値を取ります。

$x = 2$ のとき、

$y = (2-a)^2 - 2 = 4 - 4a + a^2 - 2 = a^2 - 4a + 2$.

したがって、

(i) $a < 3$ のとき、$x = 4$ で最大値 $a^2 - 8a + 14$ をとる。

(ii) $a \ge 3$ のとき、$x = 2$ で最大値 $a^2 - 4a + 2$ をとる。

3. 最終的な答え

(i) $a < 3$ のとき、$x = 4$ で最大値 $a^2 - 8a + 14$

(ii) $3 \le a$ のとき、$x = 2$ で最大値 $a^2 - 4a + 2$