関数 $y=-(x-a)^2+6$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を求め、次の空欄を埋める問題。$a$の値の範囲によって最小値をとる$x$の値と、最小値が変化するので、場合分けをする。

1. 問題の内容

関数 $y=-(x-a)^2+6$ の $2 \le x \le 4$ における最小値を求め、次の空欄を埋める問題。$a$の値の範囲によって最小値をとる$x$の値と、最小値が変化するので、場合分けをする。

2. 解き方の手順

まず、$y=-(x-a)^2+6$のグラフは、上に凸な放物線であり、軸は$x=a$である。

定義域が $2 \le x \le 4$ であることに注意して、場合分けをする。

i) $a < 2$ のとき、

定義域 $2 \le x \le 4$ において、$x$ が増加するにつれて $y$ は減少するので、$x=4$ で最小値をとる。

最小値は $y=-(4-a)^2+6 = -16 + 8a - a^2 + 6 = -a^2 + 8a -10$

ii) $2 \le a$ のとき、

軸が定義域内にある場合と、軸が定義域外にある場合を考える。

$2 \le a \le 4$ のとき、

定義域 $2 \le x \le 4$ において、$x$ が $a$ から離れるほど $y$ は減少するので、$x=2$ または $x=4$ で最小値をとる。

$x=2$ のとき、$y=-(2-a)^2 + 6 = -4 + 4a - a^2 + 6 = -a^2 + 4a + 2$

$x=4$ のとき、$y=-(4-a)^2 + 6 = -16 + 8a - a^2 + 6 = -a^2 + 8a -10$

$-a^2 + 4a + 2 > -a^2 + 8a -10$

$12 > 4a$

$3 > a$

$2 \le a \le 3$ のとき、$x=4$ で最小値をとる。最小値は $-a^2 + 8a -10$

$3 < a \le 4$ のとき、$x=2$ で最小値をとる。最小値は $-a^2 + 4a + 2$

$4 \le a$ のとき、

定義域 $2 \le x \le 4$ において、$x$ が増加するにつれて $y$ は増加するので、$x=2$ で最小値をとる。

最小値は $y=-(2-a)^2+6 = -4+4a-a^2+6 = -a^2 + 4a + 2$

まとめて書くと以下のようになる。

$a < 2$ のとき、 $x=4$ で最小値 $-a^2 + 8a -10$

$2 \le a \le 4$ のとき、$x=2$または$x=4$で最小値をとる。

　$2 \le a \le 3$ のとき、$x=4$ で最小値 $-a^2 + 8a -10$

　$3 < a \le 4$ のとき、$x=2$ で最小値 $-a^2 + 4a + 2$

$4 \le a$ のとき、$x=2$ で最小値 $-a^2 + 4a + 2$

問題文の選択肢から、$2 \le a$ の場合ではなく、$4 \le a$ の場合について考える。

i) $a < 2$ のとき、$x = 4$ で最小値 $-a^2+8a-10$

ii) $4 \le a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-a^2+4a+2$

3. 最終的な答え

i) $a < 2$ のとき、$x = 4$ で最小値 $-a^2+8a-10$

ii) $4 \le a$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-a^2+4a+2$