対数の性質、対数ものさしに関する問題です。 (1) $log_{10}2 = 0.3010$ のとき、ア、イを求めます。 (2) 対数ものさしA, Bの定義に基づき、ウを求めます。 (3) 対数ものさしA, Bを組み合わせたとき、エを求めます。 (4) 対数ものさしに関する太郎さんと先生の会話を読み、オ、カ、キ、ク、ケ、コを求めます。

1. 問題の内容

対数の性質、対数ものさしに関する問題です。

(1) $log_{10}2 = 0.3010$ のとき、ア、イを求めます。

(2) 対数ものさしA, Bの定義に基づき、ウを求めます。

(3) 対数ものさしA, Bを組み合わせたとき、エを求めます。

(4) 対数ものさしに関する太郎さんと先生の会話を読み、オ、カ、キ、ク、ケ、コを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $log_{10}10 = 1$ なので、$10^{0.3010} \approx 2$ より、ア = 2。

$log_{10}10 = 1$ なので、イ = 10。

(2) 対数ものさしAにおいて、1の目盛りから右に $log_{10}8$ だけ離れた場所に8の目盛りがある。

$log_{10}8 = log_{10}2^3 = 3log_{10}2 = 3 \times 0.3010 = 0.9030$

よって、ウ = 0.9030。

(3) 対数ものさしAの1の目盛りと対数ものさしBの2の目盛りを合わせたとき、対数ものさしAの$a$の目盛りに対応する対数ものさしBの目盛りは$b$になった。

対数ものさしAでは、1から$a$まで $log_{10}a$ の長さ。

対数ものさしBでは、1から2まで $log_{10}2$ の長さがあり、2から$b$まで $log_{10}b - log_{10}2$ の長さがある。

図より $log_{10}a = log_{10}b - log_{10}2$

$log_{10}a + log_{10}2 = log_{10}b$

$log_{10}(2a) = log_{10}b$

$b = 2a$

よって、エ = 1。

(4) 太郎: (3)の答えは $b = a + 2$ だと思ったのですが、間違っていますか。

先生: それはいつでも成り立つ関係ではありませんね。でも、$a = 1, b = 2$ のときであれば、$b = a + 2$ が成り立ちます。

よって、オ = 1、カ = 2

対数ものさしAの8の目盛りと対数ものさしBのcより大きいdの目盛りを合わせ、対数ものさしAの1の目盛りと対数ものさしBのcとの目盛りが合うとき、$c=b/8$という関係がいつでも成り立つ。

よって、コ = 2

Aの間の長さとBの間の長さが同じ。

A: $log_{10}3 - log_{10}2 = log_{10}(3/2)$

B: $log_{10}9 - log_{10}6 = log_{10}(9/6) = log_{10}(3/2)$

よって、Aは2の目盛りと3の目盛り、Bは6の目盛りと9の目盛りだから、キ=0。

A: $log_{10}5 - log_{10}4 = log_{10}(5/4)$

B: $log_{10}9 - log_{10}8 = log_{10}(9/8)$

A: $log_{10}8 - log_{10}6 = log_{10}(8/6) = log_{10}(4/3)$

B: $log_{10}12 - log_{10}9 = log_{10}(12/9) = log_{10}(4/3)$

よって、Aは6の目盛りと8の目盛り、Bは9の目盛りと12の目盛りだから、ク=2。

A: $log_{10}4 - log_{10}3 = log_{10}(4/3)$

B: $log_{10}16 - log_{10}9 = log_{10}(16/9) = log_{10}((4/3)^2) = 2log_{10}(4/3)$

A: $log_{10}(3/2) - log_{10}1 = log_{10}(3/2)$

B: $log_{10}8 - log_{10}6 = log_{10}(4/3)$

A: $log_{10}11 - log_{10}9 = log_{10}(11/9)$

B: $log_{10}12 - log_{10}10 = log_{10}(6/5)$

よって、ケ=2。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 10

ウ = 0.9030

エ = 1

オ = 1

カ = 2

キ = 0

ク = 2

ケ = 2

コ = 2