関数 $y=-(x-a)^2+5$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、指定された空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y=-(x-a)^2+5$ の $-4 \le x \le 0$ における最小値を求め、指定された空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y=-(x-a)^2+5$ は上に凸の放物線であり、軸は $x=a$ です。定義域 $-4 \le x \le 0$ における最小値を考えます。

i) $a < -4$ のとき、定義域 $-4 \le x \le 0$ において関数は単調増加します。したがって、$x=0$ で最小値をとります。このときの最小値は $y=-(0-a)^2+5 = -a^2+5$ です。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、軸 $x=a$ が定義域に含まれます。したがって、端点 $x=-4$ または $x=0$ で最小値をとります。

$x=-4$ のとき、$y=-(-4-a)^2+5 = -(a+4)^2 + 5 = -(a^2 + 8a + 16) + 5 = -a^2 - 8a - 11$

$x=0$ のとき、$y=-(0-a)^2+5 = -a^2+5$

$x=-4$ で最小値を取る条件を考えると、

$-(a+4)^2+5 < -a^2+5$

$-(a+4)^2 < -a^2$

$(a+4)^2 > a^2$

$a^2+8a+16 > a^2$

$8a+16>0$

$8a>-16$

$a>-2$

$-2<a \le 0$のとき $x=-4$で最小値$-(a+4)^2+5$

$-4 \le a \le -2$のとき $x=0$で最小値$-a^2+5$

しかし、$a$の条件が与えられているので、それを考慮する必要があります。与えられた条件は $a< -4$と $\le a$だけです。

与えられた条件より、

i) $a < -4$ のとき、$x=0$ で最小値 $5-a^2$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$の時と$x=0$の時を比較すると、

$f(0)-f(-4)=-a^2 - (-(a+4)^2) = (a+4)^2 - a^2 = a^2 + 8a + 16 - a^2 = 8a + 16$.

$8a+16>0$, つまり$a>-2$なら、$f(0)>f(-4)$となり、$f(-4)$が最小値。

$8a+16<0$, つまり$a<-2$なら、$f(0)<f(-4)$となり、$f(0)$が最小値。

$8a+16=0$, つまり$a=-2$なら、$f(0)=f(-4)$。

まとめると、

i) $a < -4$のとき、$x=0$で最小値$5-a^2$。

ii) $-4 \le a \le 0$のとき、$a \le -2$なら$x=0$で最小値$5-a^2$, $a > -2$なら$x=-4$で最小値$5-(a+4)^2$

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x=0$ で最小値 $5-a^2$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x=-4$ で最小値 $5-(a+4)^2$