与えられた連立不等式 $2x - y - 2 \le 0$ $x + y - 10 \ge 0$ $ax - y - 2a + 4 \ge 0$ の表す領域を$D$とする。$1 < a < 2$のとき、領域$D$を図示し、$a = \frac{3}{2}$のとき、$D$上を動く点$(x, y)$について、$y - 3x$の最小値を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$2x - y - 2 \le 0$

$x + y - 10 \ge 0$

$ax - y - 2a + 4 \ge 0$

の表す領域を$D$とする。$1 < a < 2$のとき、領域$D$を図示し、$a = \frac{3}{2}$のとき、$D$上を動く点$(x, y)$について、$y - 3x$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、連立不等式をそれぞれ$y$について解くと、

$y \ge 2x - 2$

$y \ge -x + 10$

$y \le ax - 2a + 4$

$l_1: y = 2x - 2$

$l_2: y = -x + 10$

$l_3: y = ax - 2a + 4$

$l_1$と$l_2$の交点を求めると、

$2x - 2 = -x + 10$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = 2(4) - 2 = 6$

したがって、交点は$(4, 6)$。

$l_2$と$l_3$の交点を求めると、

$-x + 10 = ax - 2a + 4$

$(a+1)x = 2a + 6$

$x = \frac{2a + 6}{a + 1} = \frac{2(a + 1) + 4}{a + 1} = 2 + \frac{4}{a + 1}$

$y = -x + 10 = -2 - \frac{4}{a + 1} + 10 = 8 - \frac{4}{a + 1}$

したがって、交点は$\left(2 + \frac{4}{a + 1}, 8 - \frac{4}{a + 1}\right)$。

$l_1$と$l_3$の交点を求めると、

$2x - 2 = ax - 2a + 4$

$(a - 2)x = 2a - 6$

$x = \frac{2a - 6}{a - 2} = \frac{2(a - 2) - 2}{a - 2} = 2 - \frac{2}{a - 2}$

$y = 2x - 2 = 2(2 - \frac{2}{a - 2}) - 2 = 4 - \frac{4}{a - 2} - 2 = 2 - \frac{4}{a - 2}$

したがって、交点は$\left(2 - \frac{2}{a - 2}, 2 - \frac{4}{a - 2}\right)$。

$1 < a < 2$なので、$l_3$の傾きは、$1 < a < 2$より、$1 < \frac{4}{a + 1} < 2$なので、$0 < 2 - \frac{2}{a - 2} < 2$, $-2 < 2 - \frac{4}{a - 2} < 2$

領域$D$は三角形であり、図示するとグラフの(3)のようになる。

$a = \frac{3}{2}$とすると、$l_3$の式は$y = \frac{3}{2}x - 2(\frac{3}{2}) + 4 = \frac{3}{2}x + 1$となる。

このとき、$l_2$と$l_3$の交点の$x$座標は、$2 + \frac{4}{\frac{3}{2} + 1} = 2 + \frac{4}{\frac{5}{2}} = 2 + \frac{8}{5} = \frac{18}{5}$

$y$座標は、$8 - \frac{4}{\frac{3}{2} + 1} = 8 - \frac{8}{5} = \frac{32}{5}$

$l_1$と$l_3$の交点の$x$座標は、$2 - \frac{2}{\frac{3}{2} - 2} = 2 - \frac{2}{-\frac{1}{2}} = 2 + 4 = 6$

$y$座標は、$2 - \frac{4}{\frac{3}{2} - 2} = 2 - \frac{4}{-\frac{1}{2}} = 2 + 8 = 10$

$k = y - 3x$とおくと、$y = 3x + k$である。この直線が領域$D$と交わるように、$k$の最小値を求めればよい。

$k$が最小となるのは、直線が$(4, 6)$を通るときである。

$k = 6 - 3(4) = 6 - 12 = -6$

3. 最終的な答え

チ: 3

ツテ: -6