与えられた数列 $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 11^2$ を$\Sigma$記号を用いて表す問題です。(1)は$\Sigma$の開始値が$k=1$で終了値が$6$、(2)は$\Sigma$の開始値が$k=2$の場合についてそれぞれ$\Sigma$の中に入れる式を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 11^2$ を$\Sigma$記号を用いて表す問題です。(1)は$\Sigma$の開始値が$k=1$で終了値が$6$、(2)は$\Sigma$の開始値が$k=2$の場合についてそれぞれ$\Sigma$の中に入れる式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず与えられた数列の一般項を求めます。与えられた数列は奇数の二乗の和です。奇数は$2n-1$ (または $2n+1$) の形で表すことができます。$n=1$のとき$1$, $n=2$のとき$3$, $n=3$のとき$5$,...となるので、数列の一般項は$(2n-1)^2$と表すことができます。

(1) $\Sigma_{k=1}^{6}$の形で表す場合:

$n$の代わりに$k$を使うと、$\Sigma_{k=1}^{6} (2k-1)^2$ となります。

したがって、$\Sigma$の中に入れる式は$(2k-1)^2$です。

(2) $\Sigma_{k=2}^{\Box}$の形で表す場合:

$k=2$から始まるようにするため、$k$に$2$を代入した時に元の数列の最初の項である$1^2$になるように式を調整します。

$2k - a = 1$ となる$a$を求めると、$a=3$なので一般項は $(2k-3)^2$と表せます。このとき数列は $k=2$から始まるので、最後の項である$11^2$に対応する$k$の値を求めます。

$2k-3 = 11$ を解くと $k = 7$ となります。

したがって、$\Sigma_{k=2}^{7} (2k-3)^2$ となります。$\Sigma$の上限は $7$、$\Sigma$の中に入れる式は $(2k-3)^2$です。

3. 最終的な答え

(1) $(2k-1)^2$

(2) $\Sigma$ の上限: $7$、$\Sigma$の中に入れる式: $(2k-3)^2$