与えられた複数の式を因数分解します。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解します。

2. 解き方の手順

1) $2x + 8xy$

共通因数 $2x$ でくくります。

$2x(1 + 4y)$

3) $x^3y + x^2y^3$

共通因数 $x^2y$ でくくります。

$x^2y(x + y^2)$

5) $x^2 - 64$

これは $x^2 - 8^2$ なので、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を使います。

$(x - 8)(x + 8)$

7) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{9}{25}y^2$

これは $(\frac{1}{2}x)^2 - (\frac{3}{5}y)^2$ なので、差の平方の公式を使います。

$(\frac{1}{2}x - \frac{3}{5}y)(\frac{1}{2}x + \frac{3}{5}y)$

9) $x^2 - 18x + 81$

これは $(x - 9)^2$ の形になります。

$(x - 9)^2$

11) $x^2 + 25y^2 - 10xy$

これは $(x - 5y)^2$ の形になります。

$(x - 5y)^2$

13) $x^2 - 3x - 4$

足して $-3$、掛けて $-4$ になる2つの数を見つけます。それは $-4$ と $1$ です。

$(x - 4)(x + 1)$

15) $x^2 - 11x + 24$

足して $-11$、掛けて $24$ になる2つの数を見つけます。それは $-3$ と $-8$ です。

$(x - 3)(x - 8)$

17) $5x^2 - 5x - 10$

まず、共通因数 $5$ でくくります。

$5(x^2 - x - 2)$

次に、$x^2 - x - 2$ を因数分解します。足して $-1$、掛けて $-2$ になる2つの数を見つけます。それは $-2$ と $1$ です。

$5(x - 2)(x + 1)$

19) $7x^3 - 21x^2y - 14xy^2$

まず、共通因数 $7x$ でくくります。

$7x(x^2 - 3xy - 2y^2)$

次に、$x^2 - 3xy - 2y^2$ を因数分解します。これは $(x - ay)(x - by)$ の形になると仮定して、$ab = -2$ かつ $-(a + b) = -3$ すなわち $a + b = 3$ を満たす$a,b$を探します。

$a,b$はそれぞれ$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$となるので、

$7x(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}y)(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}y)$

3. 最終的な答え

1) $2x(1 + 4y)$

3) $x^2y(x + y^2)$

5) $(x - 8)(x + 8)$

7) $(\frac{1}{2}x - \frac{3}{5}y)(\frac{1}{2}x + \frac{3}{5}y)$

9) $(x - 9)^2$

11) $(x - 5y)^2$

13) $(x - 4)(x + 1)$

15) $(x - 3)(x - 8)$

17) $5(x - 2)(x + 1)$

19) $7x(x^2 - 3xy - 2y^2)$　(もし有理数の範囲で因数分解するならここまで)

$7x(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}y)(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}y)$ (無理数の範囲まで含める場合)