次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。 $11(x^2 + y^2) \geq (3x - y)^2$

## 問題8

1. 問題の内容

次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

$11(x^2 + y^2) \geq (3x - y)^2$

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を展開します。

$(3x - y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$

次に、与えられた不等式を変形します。

$11x^2 + 11y^2 \geq 9x^2 - 6xy + y^2$

移項して整理すると、

$2x^2 + 6xy + 10y^2 \geq 0$

2で割ると、

$x^2 + 3xy + 5y^2 \geq 0$

さらに平方完成を行います。

$(x + \frac{3}{2}y)^2 - (\frac{3}{2}y)^2 + 5y^2 \geq 0$

$(x + \frac{3}{2}y)^2 - \frac{9}{4}y^2 + 5y^2 \geq 0$

$(x + \frac{3}{2}y)^2 + \frac{11}{4}y^2 \geq 0$

ここで、$(x + \frac{3}{2}y)^2 \geq 0$ かつ $\frac{11}{4}y^2 \geq 0$ であるため、この不等式は常に成立します。

等号が成り立つのは、$(x + \frac{3}{2}y)^2 = 0$ かつ $\frac{11}{4}y^2 = 0$ のときです。

$\frac{11}{4}y^2 = 0$より、$y=0$

$x + \frac{3}{2}y = 0$に$y=0$を代入すると、$x=0$

したがって、等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $11(x^2 + y^2) \geq (3x - y)^2$ は常に成立します。

等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。