$a$ を定数とする。2次不等式 $x^2 - 3ax + 2a^2 + 3x - 6a < 0$ を解け。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次不等式 $x^2 - 3ax + 2a^2 + 3x - 6a < 0$ を解け。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式を整理します。

$x^2 - 3ax + 2a^2 + 3x - 6a < 0$

$x^2 + (3-3a)x + (2a^2 - 6a) < 0$

左辺を因数分解します。

$x^2 + (3-3a)x + 2a(a - 3) < 0$

$x^2 - (3a-3)x -2a(3-a) < 0$

$x^2 - (3a-3)x +(-2a(3-a)) < 0$

$2a(a-3) = -2a(3-a)$に注意して、

$x^2 + (3 - 3a)x + 2a(a - 3) < 0$

$\{x + 2a\}\{x + (3 - a)\} < 0$

$(x + 2a)(x - (a - 3)) < 0$

$(x+2a)(x-(a-3)) < 0$

$a$ の値によって場合分けをします。

ケース1: $-2a < a-3$ の場合。

このとき $3 < 3a$ より $a > 1$ となります。

したがって、この場合の解は $-2a < x < a - 3$

ケース2: $-2a > a-3$ の場合。

このとき $3 > 3a$ より $a < 1$ となります。

したがって、この場合の解は $a - 3 < x < -2a$

ケース3: $-2a = a - 3$ の場合。

このとき $3a = 3$ より $a = 1$ となります。

このとき $(x + 2a)(x - (a - 3)) = (x + 2)(x - (-2)) = (x + 2)^2 < 0$ となります。

しかし、$(x + 2)^2 \ge 0$ なので、この不等式を満たす $x$ は存在しません。

まとめると、

$a > 1$ のとき $-2a < x < a-3$

$a < 1$ のとき $a-3 < x < -2a$

$a = 1$ のとき 解なし

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき $-2a < x < a-3$

$a < 1$ のとき $a-3 < x < -2a$

$a = 1$ のとき 解なし