与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の4つの式を展開します。 (1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$ (2) $(a+b+c)^2$ (3) $(3a+1)^2(3a-1)^2$ (4) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の4つの式を展開します。

(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$

(2) $(a+b+c)^2$

(3) $(3a+1)^2(3a-1)^2$

(4) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

2. 解き方の手順

(1) $x-2y = A$ と置換すると、

\begin{align*} (x-2y+1)(x-2y-2) &= (A+1)(A-2) \\ &= A^2 - A - 2 \\ &= (x-2y)^2 - (x-2y) - 2 \\ &= x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2 \end{align*}

(2) $(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2$ と考えると、

\begin{align*} (a+b+c)^2 &= (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \\ &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \end{align*}

(3) $(3a+1)^2(3a-1)^2 = ((3a+1)(3a-1))^2$ と考えると、

\begin{align*} (3a+1)^2(3a-1)^2 &= ((3a+1)(3a-1))^2 \\ &= (9a^2 - 1)^2 \\ &= (9a^2)^2 - 2(9a^2)(1) + 1^2 \\ &= 81a^4 - 18a^2 + 1 \end{align*}

(4) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y) = (4x^2+y^2)((2x)^2 - y^2)$ と考えると、

\begin{align*} (4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y) &= (4x^2+y^2)(4x^2 - y^2) \\ &= (4x^2)^2 - (y^2)^2 \\ &= 16x^4 - y^4 \end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $81a^4 - 18a^2 + 1$

(4) $16x^4 - y^4$