変数 $x, y$ が実数値をとるとき、$z = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 4y + 3$ について、以下の問いに答える。 (1) $y$ を定数とみて、$x$ を動かしたときの $z$ の最小値 $m$ を $y$ で表す。 (2) (1) で求めた $m$ について、$y$ を動かしたときの $m$ の最小値を求める。そして、$z$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

変数 $x, y$ が実数値をとるとき、$z = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 4y + 3$ について、以下の問いに答える。

(1) $y$ を定数とみて、$x$ を動かしたときの $z$ の最小値 $m$ を $y$ で表す。

(2) (1) で求めた $m$ について、$y$ を動かしたときの $m$ の最小値を求める。そして、$z$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を定数とみて、$z$ を $x$ の関数とみなして平方完成を行う。

$z = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 4y + 3$

$z = (x^2 - 2(y-1)x) + 2y^2 - 4y + 3$

$z = (x - (y-1))^2 - (y-1)^2 + 2y^2 - 4y + 3$

$z = (x - (y-1))^2 - (y^2 - 2y + 1) + 2y^2 - 4y + 3$

$z = (x - (y-1))^2 + y^2 - 2y + 2$

$m$ は $x = y-1$ のとき最小となり、$m = y^2 - 2y + 2$ となる。

(2) $m = y^2 - 2y + 2$ を $y$ の関数とみて平方完成を行う。

$m = (y-1)^2 - 1 + 2$

$m = (y-1)^2 + 1$

$m$ は $y = 1$ のとき最小となり、その最小値は $1$ である。

このとき、$x = y - 1 = 1 - 1 = 0$。

したがって、$z$ の最小値は $1$ であり、そのときの $x, y$ の値は $x = 0, y = 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = y^2 - 2y + 2$

(2) $z$ の最小値は $1$ であり、$x = 0, y = 1$ のとき。