与えられた3つの総和の式を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ (2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

1. 問題の内容

与えられた3つの総和の式を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$

(2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ について:

まず、総和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ であり、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ です。

したがって、

$2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2 + n - n = n^2$

(2) $\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1}$ について:

この総和は、等比数列の和です。

$\sum_{k=3}^{8} 2^{k-1} = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7$

これは、初項 $2^2 = 4$、公比 $2$、項数 $6$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ であり、ここで $a=4$, $r=2$, $n=6$ です。

したがって、

$S_6 = \frac{4(2^6 - 1)}{2-1} = 4(64 - 1) = 4 \cdot 63 = 252$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$ について:

これは調和数 $H_{n-1}$ と呼ばれるものです。一般に、調和数を閉じた形で表現することはできません。したがって、この総和は $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} = H_{n-1}$ として表すことができます。または、具体的に書き下すこともできます。

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $n^2$

(2) $252$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$ または $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1}$