与えられた行列 $A$ と多項式 $f(t)$ に対して、$f(A)$ を計算します。 (1) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$、 $f(t) = 2t^2 + t - 1$ (2) $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$、 $f(t) = t^2 + t - 8$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と多項式 $f(t)$ に対して、$f(A)$ を計算します。

(1) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$、 $f(t) = 2t^2 + t - 1$

(2) $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$、 $f(t) = t^2 + t - 8$

2. 解き方の手順

(1) の場合

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 13 \end{bmatrix}$

次に、$f(A) = 2A^2 + A - I$ を計算します。ここで、$I$ は単位行列 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。

$f(A) = 2 \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -2 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & -1 \\ -4 & 22 \end{bmatrix}$

(2) の場合

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 11 \end{bmatrix}$

次に、$f(A) = A^2 + A - 8I$ を計算します。ここで、$I$ は単位行列 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。

$f(A) = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - 8\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $f(A) = \begin{bmatrix} 17 & -1 \\ -4 & 22 \end{bmatrix}$

(2) $f(A) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$