$\theta$は鋭角であるとき、$\cos\theta = \frac{5}{6}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求めよ。$\sin\theta = \frac{\sqrt{アイ}}{ウ}$、$\tan\theta = \frac{\sqrt{エオ}}{カ}$の形で答える。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であるとき、$\cos\theta = \frac{5}{6}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$の値を求めよ。$\sin\theta = \frac{\sqrt{アイ}}{ウ}$、$\tan\theta = \frac{\sqrt{エオ}}{カ}$の形で答える。

2. 解き方の手順

$\theta$は鋭角なので、$\sin\theta > 0$、$\tan\theta > 0$です。

まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$の関係を利用して、$\sin\theta$を求めます。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$

$\sin^2\theta = 1 - (\frac{5}{6})^2$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{25}{36}$

$\sin^2\theta = \frac{36 - 25}{36}$

$\sin^2\theta = \frac{11}{36}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{11}{36}}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{11}}{6}$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$の関係を利用して、$\tan\theta$を求めます。

$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{11}}{6}}{\frac{5}{6}}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{11}}{6} \cdot \frac{6}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{11}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{11}}{5}$

よって、アイ = 11, ウ = 6, エオ = 11, カ = 5