$\theta$は鋭角であるとき、$\tan{\theta} = \frac{2}{5}$のときの$\cos{\theta}$と$\sin{\theta}$の値を求めよ。答えは$\cos{\theta} = \frac{\text{キ}}{\sqrt{\text{クケ}}}$, $\sin{\theta} = \frac{\text{コ}}{\sqrt{\text{サシ}}}$の形で答える。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であるとき、$\tan{\theta} = \frac{2}{5}$のときの$\cos{\theta}$と$\sin{\theta}$の値を求めよ。答えは$\cos{\theta} = \frac{\text{キ}}{\sqrt{\text{クケ}}}$, $\sin{\theta} = \frac{\text{コ}}{\sqrt{\text{サシ}}}$の形で答える。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{2}{5}$である。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$の関係を利用する。

$\sin{\theta} = \frac{2}{5}\cos{\theta}$を$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$に代入すると、

$(\frac{2}{5}\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{4}{25}\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{29}{25}\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{25}{29}$

$\cos{\theta} = \sqrt{\frac{25}{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$ ($\theta$は鋭角より$\cos{\theta} > 0$)

よって、$\cos{\theta} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

$\sin{\theta} = \frac{2}{5}\cos{\theta} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}}$

よって、$\sin{\theta} = \frac{2}{\sqrt{29}}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

$\sin{\theta} = \frac{2}{\sqrt{29}}$

キ = 5

クケ = 29

コ = 2

サシ = 29