不定積分 $\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt$ を計算する問題です。ただし、$x$ は $t$ に無関係な定数として扱います。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt$ を計算する問題です。ただし、$x$ は $t$ に無関係な定数として扱います。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

* $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）、ここで$C$は積分定数。

* 定数 $k$ に対して、 $\int k dt = kt + C$

各項を積分します。

$\int -3t^2 dt = -3 \int t^2 dt = -3 \cdot \frac{t^3}{3} = -t^3$

$\int 3t dt = 3 \int t dt = 3 \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{3}{2}t^2$

$\int 5x^2 dt = 5x^2 \int dt = 5x^2t$ ($x$は$t$に無関係なので定数として扱える)

$\int -x dt = -x \int dt = -xt$ ($x$は$t$に無関係なので定数として扱える)

以上の結果をまとめ、積分定数 $C$ を加えます。

3. 最終的な答え

$\int (-3t^2 + 3t + 5x^2 - x) dt = -t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 5x^2t - xt + C$