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導関数 $F'(x) = -2x + 3$ と条件 $F(-2) = -3$ が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求める。

解析学微分積分導関数不定積分積分定数関数
2025/4/6

1. 問題の内容

導関数 F′(x)=−2x+3F'(x) = -2x + 3 と条件 F(−2)=−3F(-2) = -3 が与えられたとき、関数 F(x)F(x) を求める。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求める。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(−2x+3)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-2x + 3) dx
F(x)=−x2+3x+CF(x) = -x^2 + 3x + C
ここで、CC は積分定数である。
次に、条件 F(−2)=−3F(-2) = -3 を用いて CC の値を求める。
F(−2)=−(−2)2+3(−2)+C=−3F(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) + C = -3
−4−6+C=−3-4 - 6 + C = -3
−10+C=−3-10 + C = -3
C=7C = 7
したがって、F(x)F(x) は次のようになる。
F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

3. 最終的な答え

F(x)=−x2+3x+7F(x) = -x^2 + 3x + 7

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