以下の4つの積分を計算します。 3.(1) $\int x \cos x dx$ 3.(2) $\int \frac{x}{\cos^2 x} dx$ 4.(1) $\int_1^2 x \log x dx$ 4.(2) $\int_1^e (\log x)^2 dx$

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

3.(1) $\int x \cos x dx$

3.(2) $\int \frac{x}{\cos^2 x} dx$

4.(1) $\int_1^2 x \log x dx$

4.(2) $\int_1^e (\log x)^2 dx$

2. 解き方の手順

3.(1) 部分積分を用います。$u = x, dv = \cos x dx$とすると、$du = dx, v = \sin x$なので、

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

3.(2) 部分積分を用います。$u = x, dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$とすると、$du = dx, v = \tan x$なので、

$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = x \tan x + \log|\cos x| + C$

4.(1) 部分積分を用います。$u = \log x, dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{1}{2}x^2$なので、

$\int_1^2 x \log x dx = [\frac{1}{2}x^2 \log x]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{1}{2}x^2 \log x]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{2}x dx = [\frac{1}{2}x^2 \log x]_1^2 - [\frac{1}{4}x^2]_1^2 = (2 \log 2 - 0) - (1 - \frac{1}{4}) = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$

4.(2) 部分積分を用います。$u = (\log x)^2, dv = dx$とすると、$du = 2 (\log x) \frac{1}{x} dx, v = x$なので、

$\int_1^e (\log x)^2 dx = [x (\log x)^2]_1^e - \int_1^e x \cdot 2 (\log x) \frac{1}{x} dx = [x (\log x)^2]_1^e - 2 \int_1^e \log x dx = (e (\log e)^2 - 1 (\log 1)^2) - 2 [x \log x - x]_1^e = (e - 0) - 2 [(e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)] = e - 2 [(e - e) - (0 - 1)] = e - 2 (0 + 1) = e - 2$

3. 最終的な答え

3.(1) $x \sin x + \cos x + C$

3.(2) $x \tan x + \log|\cos x| + C$

4.(1) $2 \log 2 - \frac{3}{4}$

4.(2) $e - 2$