与えられた関数 $y = -\frac{3}{x} + 2$ のグラフとx軸で囲まれた、区間 $x=1$ から $x=3$ までの領域の面積を求めます。グラフの概形から、$x=\frac{3}{2}$でyの値が0となるため、積分区間を $1 \le x \le \frac{3}{2}$ と $\frac{3}{2} \le x \le 3$ に分けて計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -\frac{3}{x} + 2$ のグラフとx軸で囲まれた、区間 $x=1$ から $x=3$ までの領域の面積を求めます。グラフの概形から、$x=\frac{3}{2}$でyの値が0となるため、積分区間を $1 \le x \le \frac{3}{2}$ と $\frac{3}{2} \le x \le 3$ に分けて計算します。

2. 解き方の手順

まず、面積を求めるために以下の定積分を計算します。

$S = \int_{1}^{\frac{3}{2}} \left( -(-\frac{3}{x} + 2) \right) dx + \int_{\frac{3}{2}}^{3} \left( -\frac{3}{x} + 2 \right) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{3}{x} dx = 3\log|x|$

$\int -2 dx = -2x$

したがって、

$\int_{1}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{x} - 2) dx = \left[ 3\log|x| - 2x \right]_{1}^{\frac{3}{2}} = \left( 3\log(\frac{3}{2}) - 2 \cdot \frac{3}{2} \right) - \left( 3\log(1) - 2 \cdot 1 \right) = 3\log(\frac{3}{2}) - 3 - (0 - 2) = 3\log(\frac{3}{2}) - 1$

そして、

$\int_{\frac{3}{2}}^{3} (-\frac{3}{x} + 2) dx = \left[ -3\log|x| + 2x \right]_{\frac{3}{2}}^{3} = \left( -3\log(3) + 2 \cdot 3 \right) - \left( -3\log(\frac{3}{2}) + 2 \cdot \frac{3}{2} \right) = -3\log(3) + 6 + 3\log(\frac{3}{2}) - 3 = -3\log(3) + 3\log(\frac{3}{2}) + 3$

面積Sは、これらの和なので

$S = 3\log(\frac{3}{2}) - 1 -3\log(3) + 3\log(\frac{3}{2}) + 3 = 6\log(\frac{3}{2}) -3\log(3) + 2 = 3(2\log(\frac{3}{2}) - \log(3)) + 2$

対数の性質を使って整理します。

$2\log(\frac{3}{2}) = \log(\frac{9}{4})$

$2\log(\frac{3}{2}) - \log(3) = \log(\frac{9}{4}) - \log(3) = \log(\frac{9/4}{3}) = \log(\frac{3}{4})$

したがって、

$S = 3\log(\frac{3}{4}) + 2$

3. 最終的な答え

$3\log(\frac{3}{4}) + 2$