与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題番号(1) $y = \sqrt{3x+2}$ と、問題番号(3) $y = \frac{3}{\sqrt{x^7}}$ を解きます。

解析学微分合成関数の微分ルート累乗根
2025/7/4

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題番号(1) y=3x+2y = \sqrt{3x+2} と、問題番号(3) y=3x7y = \frac{3}{\sqrt{x^7}} を解きます。

2. 解き方の手順

(1) y=3x+2y = \sqrt{3x+2} の微分
まず、yy(3x+2)12(3x+2)^{\frac{1}{2}}と書き換えます。
合成関数の微分公式を使って、yyxxで微分します。
dydx=12(3x+2)12ddx(3x+2)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2)
ddx(3x+2)=3\frac{d}{dx}(3x+2) = 3なので、
dydx=12(3x+2)123\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3
dydx=323x+2\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}
(3) y=3x7y = \frac{3}{\sqrt{x^7}} の微分
まず、yy3x723x^{-\frac{7}{2}} と書き換えます。
次に、yyxxで微分します。
dydx=3(72)x721\frac{dy}{dx} = 3 \cdot (-\frac{7}{2})x^{-\frac{7}{2}-1}
dydx=212x92\frac{dy}{dx} = -\frac{21}{2}x^{-\frac{9}{2}}
dydx=212x9\frac{dy}{dx} = -\frac{21}{2\sqrt{x^9}}
dydx=212x4x\frac{dy}{dx} = -\frac{21}{2x^4\sqrt{x}}

3. 最終的な答え

(1) dydx=323x+2\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}
(3) dydx=212x4x\frac{dy}{dx} = -\frac{21}{2x^4\sqrt{x}}

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