問題1: $\cos x$ の有限マクローリン展開が $1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \dots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \frac{(-1)^{n+1}\cos\theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ と表せることを示せ。 問題2: 次の関数の有限マクローリン展開を求めよ。 (1) $(e^x + e^{-x})^2$ (2) $\sin^2 x$ (3) $\log\frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

問題1: $\cos x$ の有限マクローリン展開が

$1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \dots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \frac{(-1)^{n+1}\cos\theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

と表せることを示せ。

問題2: 次の関数の有限マクローリン展開を求めよ。

(1) $(e^x + e^{-x})^2$

(2) $\sin^2 x$

(3) $\log\frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

問題2について、各関数ごとに有限マクローリン展開を求める。

(1) $(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$e^x$ のマクローリン展開は

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$

である。ここで $R_n(x) = \frac{e^\theta x}{(n+1)!}x^{n+1}$ （$\theta \in (0,x)$ または $\theta \in (x, 0)$）。

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots + \frac{(2x)^n}{n!} + R_n(2x)$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \dots + \frac{(-2x)^n}{n!} + R_n(-2x)$

したがって、

$e^{2x} + e^{-2x} + 2 = (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \dots + \frac{(2x)^n}{n!} ) + (1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \dots + \frac{(-2x)^n}{n!}) + 2 + R_n(2x) + R_n(-2x)$

$= 4 + 2\frac{(2x)^2}{2!} + 2\frac{(2x)^4}{4!} + \dots + 2\frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} + \dots + R_n(2x) + R_n(-2x)$

$(e^x + e^{-x})^2 = 4 + \frac{2(4x^2)}{2!} + \frac{2(16x^4)}{4!} + \dots + \frac{2^{2k+1}x^{2k}}{(2k)!} + \dots + R_n(2x) + R_n(-2x)$

$= 4 + 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \dots + \frac{2(2x)^{2k}}{(2k)!} + R_n(2x) + R_n(-2x)$

(2) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\cos x$ のマクローリン展開は

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(x)$

である。ここで $R_{2n+1}(x) = \frac{-\sin(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ （$\theta \in (0,x)$ または $\theta \in (x, 0)$）。

$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots + (-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(2x)$

$\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots + (-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(2x))$

$= \frac{1}{2}(\frac{4x^2}{2!} - \frac{16x^4}{4!} + \frac{64x^6}{6!} - \dots + (-1)^{n+1}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} ) - \frac{1}{2}R_{2n+1}(2x)$

$= x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots + (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n} - \frac{1}{2}R_{2n+1}(2x)$

(3) $\log\frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots - \frac{x^n}{n} + R_n(-x)$

$\log\frac{1+x}{1-x} = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots - \frac{x^n}{n}) + R_n(x) - R_n(-x)$

$= 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots + 2\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \dots + R_n(x) - R_n(-x)$

$= 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + R_n(x) - R_n(-x)$

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $(e^x + e^{-x})^2 = 4 + 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \dots + \frac{2^{2k+1}x^{2k}}{(2k)!} + R_n(2x) + R_n(-2x)$

(2) $\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots + (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n} - \frac{1}{2}R_{2n+1}(2x)$

(3) $\log\frac{1+x}{1-x} = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + R_n(x) - R_n(-x)$