定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x+2}}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x+2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}}$ を計算します。

$t = x+2$ と置換すると、$dt = dx$ となります。したがって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}} = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-\frac{1}{2}} dt$

これは、

$\int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{t} + C$

ここで、$t = x+2$ を代入すると、

$\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}} = 2\sqrt{x+2} + C$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x+2}} = \left[ 2\sqrt{x+2} \right]_{-1}^{1} = 2\sqrt{1+2} - 2\sqrt{-1+2} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{3} - 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} - 2$