問題3は不定積分の問題、問題4は定積分の問題です。いずれも部分積分法を用いて解く必要があります。具体的には、以下の4つの積分を計算します。 (3-1) $\int x \cos x \, dx$ (3-2) $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$ (4-1) $\int_{1}^{2} x \log x \, dx$ (4-2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx$

はい、承知いたしました。画像に示された積分問題を解きます。

1. 問題の内容

問題3は不定積分の問題、問題4は定積分の問題です。いずれも部分積分法を用いて解く必要があります。具体的には、以下の4つの積分を計算します。

(3-1) $\int x \cos x \, dx$

(3-2) $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$

(4-1) $\int_{1}^{2} x \log x \, dx$

(4-2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx$

2. 解き方の手順

(3-1) $\int x \cos x \, dx$ の計算

部分積分法を用いる。$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となる。

したがって、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$ (Cは積分定数)

(3-2) $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$ の計算

部分積分法を用いる。$u = x$, $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$ となる。

したがって、

$\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx = x \tan x - \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = x \tan x + \log |\cos x| + C$ (Cは積分定数)

(4-1) $\int_{1}^{2} x \log x \, dx$ の計算

部分積分法を用いる。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となる。

したがって、

$\int_{1}^{2} x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{2} - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{4}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \log 1 \right) - \left( \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2 \log 2 - 0 - 1 + \frac{1}{4} = 2 \log 2 - \frac{3}{4}$

(4-2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx$ の計算

部分積分法を用いる。$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

したがって、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx = \left[ x (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \log x \, dx$

ここで、$\int_{1}^{e} \log x \, dx$ を部分積分で計算する。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

$\int_{1}^{e} \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \left[ x \right]_{1}^{e} = (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) = e - 0 - e + 1 = 1$

したがって、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx = \left[ x (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \log x \, dx = (e (\log e)^2 - 1 (\log 1)^2) - 2(1) = (e \cdot 1^2 - 1 \cdot 0^2) - 2 = e - 0 - 2 = e - 2$

3. 最終的な答え

(3-1) $x \sin x + \cos x + C$

(3-2) $x \tan x + \log |\cos x| + C$

(4-1) $2 \log 2 - \frac{3}{4}$

(4-2) $e - 2$