すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $k$ について解きます。$x$ は正の実数なので、$\sqrt{x+1} > 0$ であり、不等式の両辺を $\sqrt{x+1}$ で割ることができます。

$k \ge \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x+1}}$

この不等式がすべての正の実数 $x$ に対して成り立つためには、$k$ は $\sqrt{1 + \frac{1}{x+1}}$ の最大値以上である必要があります。

関数 $f(x) = \sqrt{1 + \frac{1}{x+1}}$ を考えると、$x$ が正の範囲で大きくなるほど、$\frac{1}{x+1}$ は小さくなり、$f(x)$ は減少します。したがって、$f(x)$ の最大値は $x$ が最小値を取るとき、つまり $x \to 0$ のときに現れます。

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{x+1} \to 1$ となり、$f(x) \to \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ となります。

したがって、$k \ge \sqrt{2}$ である必要があり、$k$ の最小値は $\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$