関数 $f(x) = (5x + 7)(3x^3 + 6)(10x^3 + 2)$ が与えられたとき、その導関数 $f'(x)$ の $x=0$ における値 $f'(0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (5x + 7)(3x^3 + 6)(10x^3 + 2)$ が与えられたとき、その導関数 $f'(x)$ の $x=0$ における値 $f'(0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法を使って $f'(x)$ を求めます。3つの関数の積の微分は、以下のように計算できます。

もし、$f(x) = u(x)v(x)w(x)$ であれば、

$f'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)$

この公式を今回の問題に適用します。

$u(x) = 5x+7$, $v(x) = 3x^3+6$, $w(x) = 10x^3+2$ とすると、

$u'(x) = 5$, $v'(x) = 9x^2$, $w'(x) = 30x^2$

したがって、

$f'(x) = 5(3x^3+6)(10x^3+2) + (5x+7)(9x^2)(10x^3+2) + (5x+7)(3x^3+6)(30x^2)$

$f'(0)$ を計算するために、$x=0$ を代入します。

$f'(0) = 5(3(0)^3+6)(10(0)^3+2) + (5(0)+7)(9(0)^2)(10(0)^3+2) + (5(0)+7)(3(0)^3+6)(30(0)^2)$

$f'(0) = 5(6)(2) + (7)(0)(2) + (7)(6)(0)$

$f'(0) = 60 + 0 + 0$

$f'(0) = 60$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 60$